• Přednášející: Libor Barto, Út 14:00 - 15:30 M1, St 10:40 - 12:10 M1
• Cvičící:
  • Josef Dvořák (St 9:00 M5, Čt 17:20 M2)
  • Tomáš Nagy (Út 11:30 M6)
  • Jiří Nárožný (Út 17:20 M3, St 17:20 M3)
  • Alexandr Slávik (Čt 17:20 K2)
  • Zuzana Vlasáková (Út 12:20 M5)
• Konzultace: po dohodě osobně nebo emailem
• Web: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barto/LA1819leto.html
• Web zimního semestru: http://msekce.karlin.mff.cuni.cz/~smid/pmwiki/pmwiki.php?n=Main.LAproMZS1819

• Skripta, verze z 14.5.2019
• Videozáznamy přednášek z roku 2017
• Body z kvízů, DÚ a testů v průběhu semestru
• Požadavky - průběžně doplňované

Oznámení

• 12.5. Je již zadán také 12. DÚ. Termín odevzdání je pátek 24.5., aby se stihl opravit před opravným termínem na zápočet.
• 7.5. Ve čtvrtek 16.5. 17:20-18:50 proběhne další lingebraický náboj. Pište sem!
• 2.5. Vypsal jsem termíny, vždy začínáme v 9:00. Opravná zápočtová písemka: 27.5 K3. Zkoušky: 29.5 M1, 6.6 M1, 14.6 K1, 13.9 K1, 23.9 K1.
• 29.4. 11. kvíz obsahuje anketu. Prosím vyplňte jej!
• 27.2. Termín 1. midtermu se změnil na 27.3.
• 18.2. Vítejte v novém semestru! V tabulce najdete první kvíz. Vyplňte jej do čtvrtka 21.2. 22:00. Kvíz na další týden již má standardní termín pondělí 22:00.

Kalendář

Týden od	Téma	Přečíst	Kvíz	Cvičení	DÚ
18.2.	Skalární součin	8.1, 8.2	K1   V1	C1   Ř1	---
25.2.	Ortogonalizace	8.3, 8.4.1, 8.4.2, 8.4.3	K2   V2	C2   Ř2	1. DU
4.3.	Gramova matice. Unitární zobrazení. Aplikace.	8.4.4, 8.4.5, 8.5, 8.6	K3   V3	C3   Ř3	2. DU
11.3.	Vlastní čísla a vektory	9.1, 9.2	K4   V4	C4   Ř4	3. DU
18.3.	Diagonalizovatelnost	9.3.1 - 9.3.4	K5   V5	C5   Ř5	4. DU
25.3.	Diagonalizovatelnost II 1. midterm (27.3)	9.3.5, 9.3.6	K6   V6	C6   Ř6	5. DU
1.4.	Jordanův kanonický tvar	9.4	K7   V7	C7   Ř7	6. DU
8.4.	Unitární diagonalizace	10.1, 10.2	K8   V8	C8   Ř8	7. DU
15.4.	Singulární rozklad	10.3, 10.4	K9   V9	C9   Ř9	8. DU
22.4.	Bilineární formy	11.1, 11.2, 11.3. 11.4	K10   V10	C10   Ř10	9. DU
29.4. (neni 1.5.)	2. midterm (30.4)	---	---	C11-12   Ř11-12	10. DU
6.5. (neni 8.5.)	Analýza kvadratických útvarů	11.5	K11   V11+stat		---
13.5. (neni 14.5.)	Afinní prostory a podprostory	12.1, 12.2	K12   V12	C13   Ř13	11. DU do 22.5. 10:40
20.5.	Afinní podprostory, afinní zobrazení. Opakování.	12.3, 12.4.	Dotazy do 20.5. 22:00	C14   Ř14	12. DU do 24.5. 10:40

Organizace kurzu

Organizace kurzu je stejná jako v zimním semestru:

• Každý týden jsou přednášky věnované konkrétnímu tématu, jemuž se věnuje pasáž ve skriptech uvedená v kalendáři. Přednášky nebudou prostým výkladem obsahu skript, budeme se věnovat především nejdůležitějším a nejobtížnějším pojmům, motivacím, aplikacím, vašim dotazům. Abyste z přednášky něco měli, je třeba si předtím příslušnou pasáž nastudovat nebo alespoň projít, abyste získali základní orientaci, o čem bude řeč. Důrazně nedoporučuji psát si během přednášky detailní poznámky, protože (1) jinak nebudete stíhat přemýšlet, diskutovat, ptát se a (2) poznámky nebudou příliš cenným (rozhodně ne úplným) studijním materiálem - nejsou tak koncipované.
• Jako ověření vlastního porozumění můžete vyplnit on-line kvíz o čtyřech otázkách typu abc, který bude otevřen do pondělí 22:00, kromě prvního kvízu, u kterého je termín čtvrtek 22:00. Odkaz na kvíz najdete v kalendáři. Za úspěšné vyplnění kvízu (alespoň 3 správné odpovědi ze 4) získáte 1 bod k domácím úkolům z daného tématu. Součástí kvízu bude též možnost položit libovolnou otázku k danému tématu. Přednášející a cvičící se budou snažit takto položené otázky zodpovědět ve výuce a je to pro ně cenné vodítko, čemu se v hodinách více věnovat. Za položení smysluplné otázky bude možné získat k domácím úkolům další 1 bod.
• Cvičení se budou věnovat danému tématu v následujícím týdnu po přednáškách. Základní úlohy probírané na cvičeních budou zveřejněny včetně vzorového řešení i v kalendáři. Ve stejném týdnu jako cvičení bude k tématu zadán domácí úkol, sestávající ze dvou úloh po 4 bodech. Termín odevzdání je vždy následující týden do středy 10:40, místo odevzdání je schránka za vchodem na katedru algebry (preferuje se) nebo osobně. U domácích úkolů vždy uveďte své jméno a také jméno cvičícího a den a hodinu, kdy se cvičení koná: budou vám totiž předávány opravené na vašich cvičeních. Řešení domácího úkolu je třeba vypracovat samostatně, můžete je konzultovat mezi sebou, ale je zakázáno ukazovat si navzájem sepsaná řešení. Nápadně podobné chyby či formulace budou znamenat přinejmenším odebrání bodů oběma stranám. Body za domácí úkoly a za kvízy se počítají k zápočtu. Někdy bude zadán též bonusový příklad, zpravidla těžší, nad rámec požadavků. Můžete jej odevzdat, ale řešení nebude mít vliv na výsledek domácího úkolu.
• Dvakrát za semestr (27.3. a 30.4.) bude v době přednášky zadána průběžná písemka (midterm). Její struktura se bude podobat zkouškové písemce, ale bude trvat jen 90 minut a pokrývat pouze dosud odpřednesenou a odcvičenou látku. Závěrečná zkouška je písemná a proběhne v 5-6 zkouškových termínech, které budou vyhlášeny v SISu. Všechny požadované znalosti jsou v kapitolách 8-12 skript, zastoupení témat v písemce odpovídá zhruba času, který jim bude věnován na přednášce. Testujeme zejména znalost základních pojmů a porozumění vztahům mezi nimi, důležitá je ale i schopnost korektně používat matematický jazyk. Výsledek zkoušky se určí podle jedné ze dvou variant. Použije se ta, která je pro studenta příznivější.
  • 1. varianta
    • 15% 1. midterm
    • 35% 2. midterm
    • 50% závěrečný test
  • 2. varianta
    • 100% závěrečný test
  Na trojku je potřeba 55%, na dvojku 68% a na jedničku 80%. V případě zisku alespoň 55% lze v odůvodněných případech domluvit ústní zkoušení s možnou změnou známky jakýmkoliv směrem o jakoukoliv hodnotu.
• Cvičící i přednášející jsou vám k dispozici pro konzultace, buď ve vyhlášených konzultačních hodinách, nebo po dohodě e-mailem či osobně. Přednostně se obracejte na svého cvičícího během cvičení, případně jej požádejte o konzultaci. Snažte se připravit si na ni konkrétní dotazy ke skriptům či úlohy, které jste se sami pokoušeli vyřešit. Konzultace není doučování.

Zápočet

• Za každé z 12 témat od Skalárního součinu až po Afinní prostory bude možné dostat 10 bodů k zápočtu: 1 za kvíz, 1 za položenou otázku a 8 za domácí úkol. Dvě nejhůře obodovaná témata se škrtají, ze zbylých 10 je třeba získat 60% bodů. Žádné omluvy (tedy ani např. nemoc) nejsou přípustné - proto se dva nejhorší výsledky škrtají.
• Jediná možnost opravy bude jeden opravný termín na začátku zkouškového období (termín 27.5 9:00 K3). Opravný zápočtový test bude obsahovat 8 příkladů, bude trvat 90 min. a bude sestaven z přímočarých početních příkladů. K získání zápočtu je třeba alespoň 60%, body za domácí úkoly a kvízy nehrají žádnou roli.
• Cvičící má u výborných studentů a v případě vážných důvodů možnost udělit zápočet výjimečně dle jiných kritérií. Takový režim je nutné dohodnout na začátku semestru, nejpozději do půlky března.

Zkouškové písemky

• Zkoušková písemka trvá 3 hodiny, její struktura je následující
  • 10 bodů: 5 x jednoduché otázky Ano/Ne, netřeba zdůvodňovat
  • 12 bodů: 4 x definice pojmů
  • 12 bodů: 6 x jednoduché početní nebo jiné příklady, které testují pochopení pojmů a tvrzení, kde stačí správná odpověď
  • 15 bodů: 3 x početní příklady, kde je potřeba psát postup
  • 12 bodů: 3 x formulace tvrzení
  • 12 bodů: 3 x důkazy jednodušších tvrzení. Můžeme vyžadovat i například části tvrzení z následujícího seznamu.
  • 7 bodů: formulace a důkaz těžšího tvrzení z přednášky. Můžeme vyžadovat důkazy pomocných tvrzení, důkaz jen některé z implikací, vyjádřit hlavní myšlenku důkazu vlastními slovy, apod. Seznam těžších tvrzení:
    • Cauchyho-Schwarzova nerovnost (věta 8.33)
    • Charakterizace diagonalizovatelnosti pomocí násobností (věta 9.71)
    • Charakterizace unitární diagonalitovatelnosti pomocí násobností (věta 10.4)
    • Spektrální věta pro normální operátory - těžší implikace (věta 10.13)
    • Věta o singulárním rozkladu (věta 10.29)
    • Věta o setrvačnosti kvadratických forem (věta 11.26)
    • Charakterizace pozitivně definitních matic (věta 11.33)
  • 20 bodů: 4 x úlohy na zamyšlení. K vyřešení stačí dobře rozumět pojmům a tvrzením z přednášky a geometrický názor.
• Průběžné testy trvají 90 minut, jejich struktura je podobná jako u zkouškové písemky, maximální počet bodů je poloviční.
  • 6 bodů: 3 x jednoduché otázky Ano/Ne, netřeba zdůvodňovat
  • 6 bodů: 2 x definice pojmů
  • 6 bodů: 3 x jednoduché početní (nebo jiné) příklady, kde stačí správná odpověď
  • 6 bodů: 1 x početní příklad, kde je potřeba psát postup
  • 8 bodů: 2 x formulace tvrzení
  • 8 bodů: 2 x důkazy jednodušších tvrzení
  • 10 bodů: 2 x úlohy na zamyšlení
• Náplní 1. průběžného testu je látka probraná v kapitole 8, početní úlohy budou odpovídat základním úlohám ze sad k příslušným cvičením.
• Náplní 2. průběžného testu jsou kapitoly 8, 9 a 10, početní úlohy budou odpovídat základním úlohám ze sad k příslušným cvičením.

Obsah přednášky

• Standardní skalární součin na R^n a C^n. Skalární součin, norma, Cauchyho-Schwarzova nerovnost.
• Kolmost vektorů a množin, ortogonální a ortonormální posloupnosti a množiny, ortogonální doplněk.
• Ortogonální projekce, Gramova-Schmidtova ortogonalizace, QR-rozklad. Výpočet ortogonální projekce, Gramova matice. Metoda nejmenších čtverců pro SLR, řešení SLR s nejmenší normou.
• Ortogonální a unitární matice a zobrazení.
• Diskrétní a spojité lineární dynamické systémy. Vlastní čísla a vlastní vektory operátorů a matic. Podobnost. Charakteristický polynom, algebraická násobnost vlastního čísla.
• Diagonalizovatelné operátory a matice. Geometrická násobnost, charakterizace diagonalizovatelnosti. Řešení spojitých lineárních dynamických systémů s diagonalizovatelnou maticí.
• Jordanova buňka, matice v Jordanově tvaru, mocniny matic v JKT. Jordanovy řetízky. Věta o lineární nezávislosti Jordanových řetízků. Iterovaná jádra a obrazy, výpočet JKT.
• Unitárně a ortogonálně diagonalizovatelné matice, unitární podobnost, charakterizace. Normální matice. Spektrální věty pro normální, unitární, hermitovské a pozitivně (semi)definitní matice. Ortogonální operátory na R^2 a R^3.
• Singulární rozklad - různé formulace, singulární čísla. Norma matice, odhad absolutní a relativní chyby při řešení SLR, aproximace matice maticí malé hodnosti, pseudoinverze.
• Bilineární formy, kvadratické formy, matice a analytické vyjádření, změna báze. Rozklad na symetrickou a antisymetrickou část. Ortogonální báze, symetrické úpravy. signatura nad R, zákon setrvačnosti, pozitivně definitní bilineární formy. Ortonormální diagonalizace, analýza "kvadratických útvarů".
• Afinní a afinní eukleidovský prostor. Soustava souřadnic, přechodové vztahy. Afinní kombinace, barycentrické souřadnice. Kombinace odpovádající vektorům. Poddrostory, jejich parametrický, rovnicový a bodový popis, jejich vzájemná poloha a vzdálenost. Afinní zobrazení, příslušné lineární zobrazení, souřadnicový popis. Charakterizace izometrií.

Doplňující materiály

• videa Essence of Linear Algebra (v angličtině, další vzníkají česky zde)
• Známý je kurz Linear Algebra prof. Gilberta Stranga na MIT
• Jiný kurz je na serveru Educator.com
• Praktické znalosti LA si můžete později ověřit v kurzu Introduction to Linear Dynamical Systems prof. Stevena Boyda na Stanford University
• výklad jednotlivých základních pojmů lze najít i na Khan Academy, další obvykle aplikované kurzy lze najít na různých MOOC platformách, např. edX, nebo na Youtube.