David Stanovský    //   

PROSEMINÁŘ Z ALGEBRY 2023/24

Proseminář z algebry (NMAG261) je doporučen souběžně s úvodním kurzem Algebry (NMAG206) pro 2. ročník. Bude obsahovat různá témata prohlubující, doplňující a rozšiřující probíranou látku - teorii i aplikace. Proseminář je doporučen všem studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti struktur a MIT), a také těm, kteří zatím váhají s výběrem oboru a rádi by se dozvěděli, čím se zabývá současná matematika.

Stručný program:
Vysvětlíme si motivaci a základní principy několika navazujících disciplín (algebraická geometrie, algebraická topologie, algebraická teorie čísel), ukážeme si vybrané aplikace (samoopravné kódy, šifry, design experimentů), doplníme příklady k přednášce (volné grupy, grupy na eliptických křivkách, vzorce na řešení polynomiálních rovnic), ke konci možná využijeme čas na doplnění některých aspektů Galoisovy teorie, které se nestihnou na přednášce. V průběhu semestru shlédneme videopřednášku Kena Ribeta (Uni. of California, Berkeley), jednoho ze spolutvůrců důkazu velké Fermatovy věty. Mezi tématy budou:

  • samoopravné kódy
  • aplikace konečných těles v kombinatorice, statistice, kryptografii
  • diskrétní logaritmus a kryptografie
  • úvod do algebraické geometrie, Bézoutova věta, eliptické křivky
  • úvod do algebraické topologie, fundamentální grupy, Poincarého domněnka
  • idea důkazu velké Fermatovy věty

Většina témat byla v covidovém roce 2020/21 nahrána na video a je k dispozici na staré stránce kurzu (nicméně současné provedení přednášek může být podstatně jiné, snad lepší).

Vyučující: na přednáškách se budou střídat Maryia Kapytka, Michael Kompatscher a David Stanovský.

Průběžně aktualizovaný program přednášky + předběžný plán:

témavyučujícídoporučené čtení a koukání domácí úlohy
21.2.Quo vadis mathematica, Millenium Prize Problems. St. $1M problems, Fieldsovy medaile, historie algebry
28.2.Kvaterniony, oktoniony a dál? Kap. oktoniony na wikipedii
6.3.Samoopravné kódy Kap. skripta Barto-Tůma ke kurzu lineární algebry, kap. 5.8
Hammingův kód na wikipedii
13.3.Konstrukce konečných těles, interpolace, Reed-Salomonovy samoopravné kódy. Kap. skripta Počítačová algebra, kap. 8
RS kódy na wikipedii
20.3.Konečná tělesa v kombinatorice a statistice: Vzájemně ortogonální latinské čtverce a design experimentů. Kom. VIDEO
skripta Algebra pro informatiky, sekce 9.4
latinské čverce na wikipedii, Dobble
27.3.Řešení diofantických rovnic pomocí rozkladů v číselných rozšířeních. Derivace a vícenásobné kořeny. Kap. skripta Algebra22, sekce 3.5, 6.3
3.4.Úvod do algebraické geometrie: Bézoutova věta, eliptické křivky, grupová operace na eliptických křivkách. St. wikipedia: Bézoutova věta, eliptické křivky
přehledový článek o grupách na eliptických křivkách
10.4.Grupová operace na eliptických křivkách: využití v kryptografii, Birch a Swinnerton-Dyerova domněnka.
Loydova patnáctka.
Copánkové grupy.
? BSD domněnka
skripta sekce 14.3
copánkové grupy
17.4.Maticové reprezentace grup.
Cyklické grupy v kryptografii.
? skripta sekce 17.5, 18.3
24.4.Volné grupy a prezentace grup ? zápisky
1.5.---- volno ---- (detektivka na večer) - (video + komentář k videu)
8.5.---- volno ---- -
15.5.Ken Ribet: důkaz velké Fermatovy věty. ? video + komentář k videu
22.5.Úvod do algebraické topologie: fundamentální grupy, Poincarého domněnka
NEBO
Od Cardanových vzorců ke Galoisovým grupám
?

Pokud Vás zajímá algebra, teorie čísel či jejich aplikace hlouběji, v druhém ročníku si můžete zapsat také kurzy Teorie čísel a Úvod do kryptografie. Pokud Vás zajímá, na čem matematika stojí, pak Úvod do teorie množin a Úvod do matematické logiky.

Zápočet z prosemináře = zisk aspoň 50 bodů. Ty je možné získat za domací úkoly nebo úspěšné řešení kahootů na přednášce.

  • Na (skoro) každé přednášce bude kahoot, první třetina v pořadí získává 5 bodů.
  • Za semestr budou tři série písemných domácích úloh, každá 5-6 úloh po cca 5 bodech.
(Cílem je ověřit, že jste proseminář neprospali, nemělo by to být nic složitého ani časově náročného.)