David Stanovský    //   

PROSEMINÁŘ Z ALGEBRY 2019/20

Proseminář z algebry (NMAG261) bude obsahovat různá témata prohlubující, doplňující a rozšiřující probíranou látku - teorii i aplikace. Proseminář je doporučen všem studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti struktur a MIT), a také těm, kteří zatím váhají s výběrem oboru a rádi by se dozvěděli, čím se zabývá současná matematika.

Stručný program: Vysvětlíme si motivaci a základní principy několika navazujících disciplín (algebraická geometrie, algebraická topologie, algebraická teorie čísel), ukážeme si vybrané aplikace (samoopravné kódy, šifry, design experimentů), doplníme příklady k přednášce (volné grupy, grupy na eliptických křivkách, vzorce na řešení polynomiálních rovnic), ke konci možná využijeme čas na doplnění některých zajímavých, ale těžších důkazů, které se nestihnou na přednášce.
Na závěr si pustíme videopřednášku Kena Ribeta (Berkeley), jednoho ze spolutvůrců důkazu velké Fermatovy věty. Možná i další videa, pokud nějaké pěkné a přístupné najdu (návrhy vítány!).

Další doporučené kurzy, kde najdete využití algebry, jsou Teorie čísel a RSA a Kryptografické systémy (povinné pro obor MIT, volitelné pro OM).

Podrobný plán prosemináře:

témadoporučené čtení domácí cvičení
17.2.Quo vadis mathematica.
Využití imaginárních rozšíření celých čísel k řešení diofantických rovnic.
$1M problems, Fieldsovy medaile, historie algebry
skripta 8.2, Velká Fermatova věta
24.2.Konečná tělesa v informatice: AES, sdílení tajemství, Reed-Salomonovy kódy. Hammingův kód, Reed-Salomonovy kódy
2.3.Vzájemně ortogonální latinské čtverce a design experimentů. wikipedia a spousta dalších zdrojů na internetu
9.3.Projektivní rovina, Bézoutova věta, grupová operace na eliptické křivce. wikipedia: projektivní rovina, Bézoutova věta, eliptické křivky
16.3.Volná grupa a volné prezentace.
23.3.??? (něco o grupách, náhradní přednášející)
30.3.Úvod do algebraické topologie: fundamentální grupy fundamentální grupa, Poincarého domněnka, Kleinova lahev
6.4.Úvod do algebraické topologie: výpočet fundamentální grupy, invarianty uzlů. fundamentální grupa uzlu
13.4.---- velikonoce ----
20.4.možná důkaz základní věty algebry pomocí fundamentálních grup, nebo nějaké kombinatorické aplikace grup (Loydova 15ka apod.), ...
27.4....
4.5....
11.5....
18.5....

Zápočet z prosemináře:

Aspoň 66% bodů z proseminářových domácích úloh. Během semestru bude zadáno X (cca 4) sad domácích cvičení, počítá se průměr z X-1 nejlepších sad. Pokud někomu bude chybět malé množství bodů na zápočet, zadám individuálně (X+1)-ou sadu. Úkoly se odevzdávají na začátku prosemináře, případně přednášejícímu osobně nebo elektronicky na email ve formátu PDF. Úlohy podepisujte jménem nebo přezdívkou, na první domácí úkol napište přezdívku, pod kterou budou zveřejňovány výsledky na webu. Úkoly můžete řešit ve dvojici, v takovém případě odevzdávejte jedno řešení se dvěma podpisy a každý musí sepsat řešení aspoň jedné úlohy.

Výsledky domácích cvičení