• View
• Edit
• History
• Print

LieGrpLS1112

Úvod do teorie Lieových grup, LS 11/12

Přednáška v úterý 12:20 v seminárce MUUK, cvičení v pondělí v 17:20 v K8. S ohledem na italského studenta obojí v angličtině.

Novinky

27.5. V poslední části přednášky jsme udělali úvod do teorie reprezentací s příklady zejména pro sl(3,C) (Fulton-Harris), definovali Cliffordovu algebru a zkonstruovali pomocí ní spinorovou reprezentaci (Souček) a nakonec definovali Lieovu grupu a zabývali se jejím vztahem k Lieově algebře a k pojmu uzavřené lineární grupy z úvodu (Souček, Knapp). Zkoušku je možné domluvit si individuálně mailem, preferuju čtvrtky ráno (kromě 14.6.).

25.4. Zavedli jsme pojem abstraktního kořenového systému, Cartanovy matice, Dynkinova diagramu, ukázali jsme, jak vypadají pro sl(n,C), a na cvičení to uděláme i pro ostatní klasické Lieovy algebry. Teorie je podle Knappa, příklady spíš z Fultona, protože tam jsou Cartanovy podalgebry vždy složené z diagonálních matic. Důležité!!! Příští dva týdny se bude přednáška i cvičení konat v náhradním termínu, a to vždy v PÁTEK od 12:40 do 16:00 v seminární místnosti MUUK.

18.4. Za poslední měsíc jsme se vypořádali s následujícími tématy:

• Cartanovo kritérium polojednoduchosti a řešitelnosti, pro reálné a komplexní algebry, Killingova forma, Casimirův element (Knapp nebo dodatek ve Fultonovi)
• příklady polojednoduchých, jednoduchých a reduktivních Lieových algeber definovaných jako algebry matic nad reálnými čísly, komplexními čísly a kvaterniony (Knapp)
• definice reprezentace lineární Lieovy algebry vznikající z reprezentace uzavřené lineární grupy, duální reprezentace, tenzorový součin reprezentací, reprezentace Hom(V,W) (Fulton)
• Weylova věta o úplné reducibilitě reprezentací komplexních polojednoduchých Lieových algeber (důkaz asi nejlépe sepsán v Humphreysovi)
• Cartanova podalgebra a kořenový rozklad polojednoduché Lieovy algebry (Knapp, příklady podrobně ve Fultonovi, téma existence a jednoznačnosti Cartanových podalgeber nerozebíráme)

8.3. Se zpožděním zprovozňuji tuto stránku a shrnuji, co jsme dosud udělali:

• nejprve obecný úvod do reprezentací grup, s příklady zejména z oblasti konečných grup. Povídal jsem to víceméně podle Fultona-Harrise, Lecture 1, s několika vlastními doplněními
• zavedení pojmu uzavřené lineární grupy a (její) lineární Lieovy algebry. Zde jsem vycházel z Knappa.
• abstraktní Lieovy algebry, řešitelné, nilpotentní a (polo)jednoduché, také z Knappa.
• připomenutí exponenciály matice, to je v Knappovi, Rossmannovi, Hallovi a leckde jinde.

Zápočet

Za aktivní účast, zejména prezentaci domácích úkolů.

Literatura:

• zápisky z přednášek prof. Součka.
• Fulton, Harris: Representation Theory: A First Course - v dostatečném množství v knihovně, trochu neformální, ale s mnoha příklady
• Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory - stručné, přesné, ale pouze Lieovy algebry
• Knapp : Lie groups: Beyond an Introduction - Introduction z Beyond an Introduction, co může být lepšího? :-)
• Hall: Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction - název mluví za všechno, elementární úvod
• Rossman: Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups - podobné jako Hall
• Slovák: Reprezentace polojednoduchých Lieových algeber

Termíny zkoušek: