Vítám vás na stránkách Matematiky A. Důkladně si je pročtěte - najdete v nich mnoho užitečných informací a
odpovědi na většinu možných otázek.
Přednáška 55F100 Matematika A má dvojitou časovou dotaci. Koná se v pondělí 14:30-16:00 v RB101 + ve středu 18:00-19:30 v Likešově aule změna od 3.10.: ve Vencovského aule.
| Datum. Stručný obsah | Domácí úkoly | Slajdy z přednášky |
| 17.9. Organizační věci. Motivace ke studiu matematiky. I. Přehled požadovaných vstupních znalostí. Reálná čísla, intervaly. Množinové a logické operace, kvantifikátory. | 1 | 1. přednáška |
| 19.9. Aritmetické operace: úpravy zlomků. Mocniny, odmocniny, mocniny s racionálním exponentem. Rovnice, nerovnice a grafy jednoduchých funkcí v kartézských souřadnicích: a) Lineární rovnice a nerovnice, lineární funkce. | 2 | 2. přednáška |
|
24.9.Význam koeficientů lineární funkce (průsečík s osou y, směrnice přímky, přímka rostoucí/klesající), výpočet rovnice přímky ze zadaných bodů. b) Rovnice s absolutní hodnotou, graf funkce abs. hodnota. c) Kvadratické funkce a
rovnice diskriminant, výpočet kořenů, Vietovy vztahy, graf, význam koeficientů (konvexita, konkavita), výpočet a znázornění vrcholu paraboly (odvození souřadnic doplněním na čtverec a z Vietových vztahů).
Minitest 25.9.: Lineární rovnice - početní a grafické řešení. |
3. přednáška | |
| 26.9. Kvadratické nerovnice - tabulka. d) Kubické rovnice a nerovnice (odhadnutí celočíselných kořenů, dělení polynomů). Rovnice s racionálními lomenými funkcemi (a řešení nerovnic pomocí tabulky). Graf lineární lomené funkce, asymptoty a střed hyperboly, posun grafu 1/x. | 3 | 4. přednáška |
|
1.10.Soustavy lineárních i nelineárních rovnic 2x2. Rovnice přímky, rovnice kružnice. Exponenciála, logaritmus. Definiční obory funkcí.
Minitest 2.10.: Kvadratická funkce -- výpočet průsečíků s osami, vrcholu, graf. |
4 | 5. přednáška |
| 3.10. II. Posloupnosti a limity. Posloupnosti konečné a nekonečné, posloupnost aritmetická, geometrická. Konečná a nekonečná limita posloupnosti, pojem konvergence/divergence, základní příklady. | 5 | 6. přednáška |
|
8.10. Limita aritmetické a geometrické posl., věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu, rozšířené operace s limitami (tj. i s nekonečnými), příklady na výpočet limit. Výpočet limit posloupností, početní finta č.1
(vytknutí členů s nejvyššími mocninami).
Minitest 9.10.: Lineární lomená funkce -- výpočet středu, asymptot, graf. |
6 | 7. přednáška |
| 10.10. Finta č. 1 pro neceločíselné mocniny, vytýkání zpod odmocniny, finta č.2 (vytknutí exponenciál s nejvyššími základy), finta č.3 (odečtení odmocnin pomocí rozšíření výrazem s opačným znaménkem). Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí limit jistých posloupností. Ekonomický význam Eulerova čísla. Řady konečné a nekonečné, příklady - zejména geometrická řada. Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí jistých nekonečných řad. | 8. přednáška | |
|
15.10. III. Funkce jedné proměnné. Pojem funkce = funkční předpis + definiční obor. Obor hodnot. Zoo základních funkcí a jejich grafů. Pojem prostá funkce, inverzní funkce a jak vznikne její graf z
původní funkce. Graf k-té mocniny a odmocniny, exponenciály a logaritmu s přirozeným základem.
Minitest 16.10.: Určení definičního oboru funkce, jejích průsečíků s osami a kde je kladná/záporná (kombinace odmocnin a rac. lom. funkcí). |
9. přednáška | |
| 17.10. Dokončení "Zoo funkcí": exponenciála a logaritmus s obecným základem. Pojem složená funkce, hledání jejího definičního oboru. Spojitost funkce. Limita funkce - definice. Jednostranné limity, základní příklady s limitami. Výpočet limity funkce: věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu, věta o limitě složené funkce. | 7 | 10. přednáška |
|
22.10. Rozlišení podle polohy bodu x_0 vzhledem k D_f: 1. v bodě v D_f spojité funkce je limita rovna funkční hodnotě, 2. v krajním bodě D_f - A. je-li tímto bodem (plus minus) nekonečno,
používáme analogické postupy jako u limit posloupností s opatrností ohledně znamének. B. Je-li daný bod reálný: výpočet limity typu a/0 pomocí tzv. dělení "kladnou a zápornou nulou". Limity exponenciály a logaritmu.
Minitest 23.10.: Limity posloupností. |
8 | 11. přednáška |
| 24.10. Limity kombinací exp a log s mocninami. Derivace funkce: zavedení, derivace základních funkcí. Pravidla pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu, a pro derivaci složené funkce, první příklady. | 9 | 12. přednáška |
|
29.10. Další příklady na derivace. L'Hospitalovo pravidlo (=Finta č. 4) pro výpočet limity posloupnosti typu 0/0, nekonečno/nekonečno a jeho užití v příkladech.
Minitest 30.10.: Limity funkcí v krajních bodech definičního oboru. |
10 | 13. přednáška |
| 31.10. L'Hospitalovo pravidlo - další příklady. Význam derivace funkce v bodě jako směrnice příslušné tečny, výpočet rovnice tečny v daném bodě. Nekonečná derivace, jednostranné derivace, absolutní hodnota jako příklad funkce, která nemá v 0 derivaci. | 11 | 14. přednáška |
|
5.11. Monotonie funkce (funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající v intervalu). Lokální a globální extrémy, stacionární body. Vztah mezi znaménkem derivace a monotonií funkce. Výjimečné (podezřelé) body =
kandidáti na extrém. Zjištění monotonie mezi dvěma výjimečnými body.
Minitest 6.11.: Derivace funkcí. |
12 | 15. přednáška |
| 7.11. Příklady na výpočet monotonie a extrémů. Funkce sudé a liché. Asymptoty (svislé v bodě, obecné v plus minus nekonečnu, jak poznat vodorovnou asymptotu z limity funkce v nekonečnu). Výpočet asymptot v nekonečnu. | 13 | 16. přednáška |
|
12.11. Druhá derivace, konvexita - konkavita. Přehled dílčích kroků při vyšetření průběhu funkce. Příklady vyšetření průběhu funkce.
Minitest 13.11.: Úlohy s tečnami ke kvadratické funkci. |
14 | 17. přednáška |
| 14.11. Přednáška se nekoná. | ||
|
19.11.Další příklady vyšetření průběhu funkce.
Minitest 20.11.: Určení intervalů monotonie funkce. |
15 | 18. přednáška |
|
21.11. Průběžný test - 1. termín. Obsah průběžného testu Odkaz na zadání testů z minulých let najdete v tabulce zcela dole. |
||
|
26.11. Průběžný test - 2. termín.
Test zrušen kvůli evakuaci. Náhradní termín je ve středu 5.12. od 16:15 Minitest 27.11.: Výpočet asymptot funkce. |
||
| 28.11. IV. Funkce více proměnných. Parciální derivace, stacionární bod funkce. Hledání globálních extrémů funkce na kompaktní množině: Pojem kompaktní množiny, Weierstrassova věta, obecné schéma řešení optimalizační úlohy (neboli hledání kandidátů na extrém). Rozlišení metod hledání vázaných extrémů podle typu okraje (pro funkce dvou proměnných): (A) dosazovací metoda - na mnohoúhelníku. | 16 | 19. přednáška |
|
3.12. (A) dosazovací metoda - na mnohoúhelníku a na množinách s polynomiálními a některými dalšími vazbami. Speciální případ lineární funkce -- nemá stacionární body. Vsuvka: pojem matice, Jacobiho matice, determinant,
jacobián. (B) Metoda jacobiánu pro dvě proměnné.
Minitest 4.12.: Stacionární body funkce dvou proměnných. |
17 | 20. přednáška |
| 5.12. (C) Metoda Lagrangeových multiplikátorů pro dvě proměnné, příklady a porovnání těchto metod. Metoda Lagrangeových multiplikátorů pro více proměnných a více vazeb, příklad. | 18 | 21. přednáška |
|
10.12. Determinant matice 3x3. Metoda Jacobiánu pro případ 3 proměnných a 2 vazeb. Příklady na metodu LM a Jac ve třech proměnných.
Minitest 11.12.: Dosazovací metoda (na jedné úsečce). |
19 | 22. přednáška |
| 12.12. Příklady na optimalizační úlohy (metoda jacobiánu, Lagr. multiplikátorů), na průběhy funkcí jedné proměnné. | 20 | 23. přednáška |
|
Závěrečné informace:
Obsah Závěrečného testu. Zde jsou kompletní testy z předchozích semestrů (zadání, bez řešení). |