Jak počítat limity v komplexní analýze?V úvodním kurzu matematické analýzy je značná pozornost věnovaná počítání limit posloupností i funkcí. Jde primárně o posloupnosti reálných čísel a funkce reálné proměnné. Později, při zkoumání funkcí více proměnných, se počítají i limity funkcí více proměnných (taková limita se vyskytuje například v definici totálního diferenciálu). Počítání takových limit může být výrazně náročnější než počítání limit funkcí jedné proměnné. Z hlediska teoretického velký rozdíl není - definice limity posloupnosti, spojitosti a limity funkce, vypadá stejně pro funkce jedné proměnné, pro funkce více proměnných i v abstraktnějším kontextu metrických prostorů. Nicméně z hlediska praktických metod výpočtu jsou zde netriviální rozdíly. Limity posloupnostíPočítáme-li limitu posloupnosti v Rn, můžeme ji počítat po souřadnicích. Tím problém převedeme na výpočet n posloupností reálných čísel. Komplexní rovina je z tohoto pohledu vlastně R2, lze tedy počítat limitu reálné a imaginární části zvlášť. Zároveň řada pravidel z reálné analýzy platí i v komplexním případě (limita geometrické posloupnosti, součet geometrické řady, vztah absolutní konvergence a konvergence aj.). Limity funkcí komplexní proměnnéFunkce komplexní proměnné jsou vlastně funkce (či dvojice funkcí) dvou reálných proměnných. Tedy, kdybychom počítali limity těchto funkcí, měli bychom použít metody počítání limit funkcí dvou proměnných (limity po přímkách, křivkách, vhodné odhady,...). To v principu může být dost těžké. Limity holomorfních funkcíPokud ovšem počítáme limitu holomorfní funkce v bodě izolované singularity, je situace výrazně jednodušší. Dle Casoratti-Weierstrassovy věty víme, že jsou tři typy těchto singularit - odstranitelná, pól a podstatná. Zajímavá z početního hlediska je odstranitelná singularita - v ní často limitu počítáme při výpočtu rezidua (viz Věta IV.4(1)). Tento výpočet nemusí být triviální, ale zároveň nebývá příliš obtížný. Používají se podobné metody jako v reálném případě (dosazení do spojité funkce, věta o aritmetice limit, věta o limitě složené funkce). Navíc jsou zde dvě metody známé z reálné analýzy, které jsou v případě holomorfních funkcí výrazně jednodušší. L'Hospitalovo pravidlo je obtížná věta z reálné analýzy, kde je třeba dávat velký pozor na předpoklady (správný typ podílu a existence limity podílu derivací). Důkaz je velmi reálný - používá věty o střední hodnotě. Pro holomorfní funkce platí podobné pravidlo v mnohem jednodušší formě - viz Příklady k pochopení látky, Kapitola IV, příklady 1 a 2. Taylorův polynom je další metoda z reálné analýzy. K výpočtu limit se používá věta o zbytku v Peanově tvaru a aritmetika malého o. Jeden z možných důkazů používá l'Hospitalovo pravidlo, je tedy opět velmi reálný. Nicméně z komplexní analýzy známe větu o rozvoji v mocninou řadu. Každá holomorfní funkce je součtem své Taylorovy řady o daném středu na maximálním myslitelném kruhu. A z rozvoje v mocninnou řadu plyne snadno i věta o zbytku v Peanově tvaru (s malým o) pro holomorfní funkce. Proto lze Taylorův polynom používat stejně (ba snáze) než v reálném případě. |