Algebraické křivky (NMAG302) - informace k přednášce v letním semestru 2015/2016.

Základní informace

Sylabus a základní informace vizte popis předmětu ve Studijním informačním systému.

Rozvrh (k nalezení též v SISu):

  • přednáška ve středu 12:20-13:50 hod. v místnosti K9,
  • cvičení ve středu 14:00-15:30 hod. v místnosti K12 (cvičí S. Mokriš).

Zkouška

Zkouška je ústní a vypsané termíny jsou:

  1. středa 25. května od 12:20 hod. v učebně K9 (stejné místo a čas jako přednáška, odkaz do SISu),
  2. pondělí 13. června od 10:00 hod. v seminární místnosti Katedry algebry (odkaz do SISu),

Případné další termíny budou vypsány po domluvě. Zájemci ať mě kontaktují.

Zápočet

Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené příklady. Půjde o tři sady příkladů, které budou vypisovány níže. Požaduji alespoň 50 % vyřešených příkladů v uvedených termínech.

Co bylo probráno

Zde je uveden orientační seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách, včetně odkazů do literatury.

24. 2. 2016
Afinní prostory a afinní algebraické množiny, ideál množiny bodů, radikálové ideály ([Ful], kap. 1.2, 1.3, 1.4).
2. 3. 2016
Ireducibilní rozklad algebraické množiny a jeho jednoznačnost, kritérium ireducibility algebraické množiny přes její ideál, definice polynomiálních zobrazení ([Ful], kap. 1.5, 2.2).
9. 3. 2016
Souřadnicové okruhy, kritérium ireducibility přes souřadnicový okruh, korespondence mezi polynomiálními zobrazení a homomorfismy souřadnicových okruhů, isomorfismus algebraických množin ([Ful], kap. 2.1, 2.2).
16. 3. 2016
Komutativní algebra potřebná k důkazu Hilbertových vět o nulách (konkrétně příprava na důkaz, že K[x1, x2, ..., xn]/M je pro maximální ideál M konečné rozšíření tělesa K) ([Ful], kap. 1.8, 1.10, [Dr1], kap. II.7).
23. 3. 2016
Faktor okruhu polynomů podle maximálního ideálu, slabá věta o nulách, Hilbertova věta o nulách, změna významu přiřazení V a I a dopad této změny na předchozí pojmy a tvrzení ([Ful], kap. 1.7, 1.10, [Dr1], kap. II.7).
30. 3. 2016
Důsledky vět o nulách, stručně o akci Galoisovy grupy na algebraických množinách, projektivní prostory a pohled na ně jako na rozšíření afinních prostorů, nuly polynomů v projektivních prostorech a homogenní polynomy ([Ful], kap. 1.7, 4.1, 4.2).
6. 4. 2016
Homogenní ideály a jejich vlastnosti, základní vlastnosti přiřazení Vproj a Iproj, ireducibilní rozklad projektivní algebraické množiny a kritérium ireducibility přes homogenní ideál, projektivní věta o nulách (důkaz příště) ([Ful], kap. 4.1, 4.2).
20. 4. 2016
Důkaz projektivní věty o nulách, vztah afinních a projektivních algebraických množin - zúžení projektivní algebraické množiny na afinní, projektivní uzávěr afinní algebraické množiny, základní vlastnosti těchto ([Ful], kap. 2.6, 4.2, 4.3).
27. 4. 2016
Dokončení vztahu mezi afinními a projektivními algebraickými množinami, afinní a projektivní rovinné křivky a jejich stupeň, singulární a nesingulární body a tečny v nesingulárních bodech ([Ful], kap. 3.1, 4.3, 5.1, dále text o rovinných křivkách).
11. 5. 2016
Singularity projektivních rovinných křivek, Bézoutova věta (formulace), základní vlastnosti rezultantů ([Ful], kap. 5.3, [CLO], kap. 3.5, 3.6, 8.7, rezultanty jsou diskutovány i v [BS], kap. 13, singularity v textu o rovinných křivkách).
18. 5. 2016
Důkaz Bézoutovy věty pomocí rezultantů ([Ful], kap. 5.3, [CLO], kap. 8.7).

Literatura

Jádro přednášky je prezentováno podle následující knihy volně dostupné on-line v PDF:

[Ful] W. Fulton, Algebraic Curves (An Introduction to Algebraic Geometry), 2008. [PDF ke stažení]

Část přednášky o rovinných křivkách jsem sepsal v následujícím textu v češtině. Pokud v textu najdete nějaké nesrovnalosti, prosím dejte mi vědět, pokusím se je opravit.

[Šť] J. Šťovíček, Rovinné křivky. [PDF ke stažení]

Přednášené výsledky jsou doplněny o některá fakta a příklady, které jsou k nalezení v následujících (off-line) zdrojích:

[AM] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Co., 1969.
[BS] L. Barto, D. Stanovský, Počítačová algebra, Matfyzpress, 2011.
[CLO] D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, varieties, and algorithms, 2. vyd., Springer, New York, 2005.
[Ki] F. Kirwan, Complex algebraic curves, LMS Student Texts 23, Cambridge, 1992.
[Sh] I. R. Shafarevich, Basic algebraic geometry 1, Varieties in projective space, 2. vyd., Springer-Verlag, Berlin, 1994.

V češtině lze leccos nalézt i v provizorních skriptech od prof. Drápala:

[Dr1] A. Drápal, Komutativní okruhy. [PDF ke stažení]
[Dr2] A. Drápal, Algebraická geometrie - geometrická čast. [PDF ke stažení]
[Dr3] A. Drápal, Algebraická geometrie - algebraická čast. [PDF ke stažení]

Celkově lze říci, že algebraická geometrie je velmi široký obor, o kterém jsou napsány tisíce stránek z různých pohledů a k různým účelům. Určitou představu (příp. doporučení, kudy dále pro zájemce) si lze udělat na tomto blogu na mathoverflow.net.

Další odkazy