Informace pro studenty v LS 2011/12
- Mathematica pro začátečníky (0/2 Z) - výběrový předmět pro studenty všech ročníků i oborů
Podmínky získání zápočtu:
Aktivní účast (povoleny 3 absence).
Tento předmět běží ve dvou paralelkách (úterý 10:40, pátek 10:40).
Materiály k výuce:
- První setkání s Mathematicou: PDF
- Symbolická matematika, řešení rovnic: PDF NB
- Definice funkcí. Grafy, křivky a plochy: PDF NB
- Seznamy a lineární algebra: PDF NB
- Přepisovací pravidla, analýza pro začátečníky i pokročilé: PDF NB
- Vnitřní reprezentace výrazů, náhodná čísla, zobrazování dat: PDF NB
- Predikáty a vzory, interpolace a aproximace: PDF NB
- Anonymní funkce, funkcionální programování: PDF NB
- Grafika v rovině a v prostoru: PDF NB
- Procedurální programování: PDF NB
- Řetězce, práce se soubory, externí balíčky: PDF NB
- Závěrečná všehochuť: PDF NB
Další zdroje informací:
- Diferenciální geometrie I (2/2 Z, Zk) - zejména pro studenty učitelských oborů
Probraná témata:
Historický vývoj pojmu křivka. Parametrizovaná křivka, příklady. Regulární křivky, tečna, normála, odchylka křivek, délka křivky.
Archimédova a logaritmická spirála. Ekvivalence křivek. Parametrizace obloukem. Frenetův repér rovinné křivky.
Cassiniho ovály a Bernoulliova lemniskáta. Použití věty o implicitní funkci k vyšetřování křivek.
Diferenciální geometrie pro cyklisty.
Frenetovy vzorce a křivost rovinné křivky, geometrický význam křivosti, příklady.
Nalezení křivky se zadanou křivostí, klotoida (Cornuova spirála). Frenetův repér a křivost křivky při změně
parametrizace. Oskulační kružnice, střed křivosti a poloměr křivosti. Střed křivosti jako limita průsečíků normál.
Evoluta rovinné křivky. Cykloida, její evoluta, úloha o tautochroně.
Hypocykloida a epicykloida, řetězovka, traktrix. Evolventa rovinné křivky a její vztah k evolutě.
Vektorové identity.
Prostorové křivky: oskulační rovina, hlavní normála, binormála, Frenetův repér, Frenetovy vzorce, křivost a torze, chování při změně parametrizace. Šroubovice. Vyjádření křivosti a torze pomocí derivací křivky. Křivost průmětu do oskulační roviny.
Parametrizovaná plocha, příklady: rotační plochy, přímkové plochy,
válcová plocha kolem křivky. Regulární plochy, tečná rovina, normála. Ekvivalence ploch. Křivky na ploše,
příklad: torus knots. Obsah plochy. První základní forma plochy a její použití.
Zobrazení mezi plochami: izometrie, konformní zobrazení (stereografická projekce, Mercatorova projekce a loxodromy na sféře). Druhá základní forma plochy. Meusnierův vzorec, normálové řezy, normálová křivost. Hlavní směry a hlavní křivosti, Eulerův vzorec. Gaussova a střední křivost a jejich význam, Theorema egregium.
Poznámka: Soubory .cdf lze otevřít v Mathematice nebo v CDF Playeru.
Aktuální informace:
Doporučené studijní materiály:
- Křivky a plochy (učební text prof. Součka)
- Christian Bär, Elementary Differential Geometry, Cambridge University Press, 2010
- Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer, 2010
Další zdroje informací:
Informace pro studenty v ZS 2011/12
- Mathematica pro začátečníky (0/2 Z) - výběrový předmět pro studenty všech ročníků i oborů
Podmínky získání zápočtu:
Aktivní účast (povoleny 3 absence).
Poznámka:
Druhou paralelku k tomuto předmětu vede Mgr. Adam Kubetta (úterý 19:00-20:30 v K10A).
Materiály k výuce:
- První setkání s Mathematicou: PDF
- Symbolická matematika, řešení rovnic: PDF NB
- Definice funkcí. Grafy, křivky a plochy: PDF NB
- Seznamy, výlet do lineární algebry: PDF NB
- Přepisovací pravidla, analýza pro začátečníky i pokročilé: PDF NB
- Vnitřní reprezentace výrazů, náhodná čísla, zobrazování dat: PDF NB
- Predikáty a vzory, interpolace a aproximace: PDF NB
- Anonymní funkce, funkcionální programování: PDF NB
- Grafika v rovině a v prostoru: PDF NB
- Procedurální programování: PDF NB
- Řetězce, práce se soubory, externí balíčky: PDF NB
- Závěrečná všehochuť: PDF NB
Další zdroje informací:
- Kombinatorika (2/0 KZ) - přednáška především pro studenty učitelských oborů
Podmínky získání klasifikovaného zápočtu:
Úspěšné napsání písemky ve zkouškovém období.
Doporučená literatura:
- How To Count. An Introduction to Combinatorics (R. B. J. T. Allenby, A. Slomson, CRC Press, 2011)
- Kombinatorika pro učitelské studium (E. Calda, Matfyzpress, 1996)
- Kapitoly z diskrétní matematiky (J. Matoušek a J. Nešetřil, Karolinum, 2007)
- Concrete Mathematics (R. L. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnik, Addison-Wesley, 1994) - kapitoly 1, 6, 7
Probraná témata:
Kombinatorika na střední škole (pravidla součinu a součtu, variace, permutace,
kombinace, kombinační čísla a Pascalův trojúhelník). Dvě
varianty principu inkluze a exkluze a jejich použití. Permutace bez pevných
bodů, úloha o šatnářce, subfaktoriály a jejich vlastnosti. Kombinace s nesousedními členy (text k samostatnému studiu). Věžové
polynomy, permutace s omezujícími podmínkami a vzorec pro jejich počet. Rozmisťovací úlohy.
Fibonacciho čísla (úlohy o králících, o dlaždicích,
o schodišti) a jejich vlastnosti, vzorec pro n-tý člen. Catalanova
čísla a související úlohy (úloha o frontě před pokladnou, hlasovací problém,
Catalanova úloha). Úlohy vedoucí na rekurentní rovnice a jejich řešení
(hanojské věže, přímky v rovině, úloha o zajatcích). Generující funkce a jejich užití k řešení rekurentních rovnic.
Věta o řešení lineární homogenní rekurentní rovnice s konstantními koeficienty
a její použití. Řešení nehomogenní rovnice a soustavy rekurentních rovnic pomocí
generujících funkcí. Úlohy o pokrývání. Kombinatorické aplikace mnohočlenů a řad. Přihrádkový princip. Kombinatorické identity.
Další materiály:
- Diferenciální geometrie II (2/2 Z, Zk) - zejména pro studenty učitelské a odborné matematiky
Probraná témata:
Globální teorie rovinných křivek: Existence úhlového zobrazení, rotační index, index bodu
vzhledem ke křivce, ekvivalentní definice křivosti. Konvexní křivky, konvexní množiny a jejich vzájemný vztah.
Konvexita a znaménko křivosti. Kružnice opsaná kompaktní množině. Věta o čtyřech vrcholech. Obsahy rovinných útvarů (mnohoúhelníky a křivky). Rovnoběžné křivky.
Izoperimetrické úlohy (trojúhelníky, n-úhelníky, uzavřené křivky). Croftonův vzorec a jeho aplikace (přibližný výpočet délky křivky, křivky s konstantní šířkou, Buffonovy úlohy).
Plochy: Gausssovy rovnice, Christoffelovy symboly, Theorema egregium. Geodetické křivky na ploše, diferenciální rovnice pro geodetiky a jejich numerické řešení. Geodetiky na válcové ploše,
na kuželové ploše a na obecné rotační ploše (Clairautova věta). Exponenciální zobrazení,
geodetické normální a polární souřadnice. Geodetiky jako nejkratší spojnice bodů na ploše.
Mindingova věta. Geometrie na zakřivených plochách (obvod a obsah geodetické kružnice,
Gaussova věta pro geodetické trojúhelníky). Rotační plochy s konstantní Gaussovou
křivostí. Minimální plochy - nutná podmínka minimalizace povrchu, minimální rotační a přímkové plochy.
Další materiály:
Informace pro studenty v LS 2010/11
- Mathematica pro pokročilé (0/2 Z) - výběrový předmět pro studenty všech ročníků i oborů
Podmínky získání zápočtu:
Vypracování zápočtového programu.
Materiály k výuce:
- Diferenciální geometrie I (2/2 Z, Zk) - zejména pro studenty učitelských oborů
Probraná témata:
Historický vývoj pojmu křivka. Parametrizovaná křivka, příklady. Regulární křivka, tečna, odchylka křivek.
Archimédova a logaritmická spirála. Ekvivalence křivek. Parametrizace obloukem. Frenetův repér rovinné křivky.
Cassiniho ovály a Bernoulliova lemniskáta. Použití věty o implicitní funkci k vyšetřování křivek.
Diferenciální geometrie pro cyklisty. Frenetovy vzorce a křivost rovinné křivky, geometrický význam křivosti, příklady.
Nalezení křivky se zadanou křivostí, klotoida (Cornuova spirála). Frenetův repér a křivost křivky při změně
parametrizace. Oskulační kružnice, střed křivosti a poloměr křivosti. Střed křivosti jako limita průsečíků normál.
Evoluta rovinné křivky. Cykloida, její evoluta, úloha o tautochroně. Evolventa rovinné křivky a její vztah k evolutě.
Řetězovka, traktrix, hypocykloida a epicykloida. Vektorové identity.
Prostorové křivky: oskulační rovina, hlavní normála, binormála, Frenetův repér, Frenetovy vzorce, křivost a torze, chování při změně parametrizace.
Šroubovice. Vyjádření křivosti a torze pomocí derivací křivky. Křivost průmětu do oskulační roviny.
Parametrizovaná plocha, příklady: rotační plochy, přímkové plochy,
válcová plocha kolem křivky. Regulární plochy, tečná rovina, normála. Křivky na ploše,
příklad: torus knots. Ekvivalence ploch. Obsah plochy. První základní forma a její použití k měření na ploše.
Zobrazení mezi plochami: izometrie, konformní zobrazení (stereografická projekce, Mercatorova projekce).
Druhá základní forma plochy. Meusnierův vzorec, normálové řezy, normálová křivost. Hlavní směry a hlavní křivosti, Eulerův vzorec.
Gaussova a střední křivost a jejich výpočet pomocí první a druhé formy. Weingartenovy rovnice. Geometrický význam Gaussovy křivosti. Theorema egregium.
Poznámka: Soubory .nbp lze otevřít v Mathematice nebo v Mathematica Playeru.
Doporučené studijní materiály:
- Křivky a plochy (učební text prof. Součka)
- Christian Bär, Elementary Differential Geometry, Cambridge University Press, 2010
- Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer, 2010
Další zdroje informací: