Program proseminare bude behem semestru upresnen a bude zaviset na zajmu studentu. Zacneme klasifikaci konecne generovanych Abelovych grup a nasledne konecne generovanych modulu nad obory hlavnich idealu.
Behem semestru budu zadavat domaci ulohy. Kazda z uloh bude bodovana a bude mit stanoven termin odevzdani. K ziskani zapoctu bude treba ziskat alespon 65% bodu.
- 5. rijna 2017: Definovali jsme vnejsi a vnitrni direktni soucet Abelovych grup a ukazali jsme, ze si odpovidaji. Dale jsme definovali torzni podgrupu T(A)
Abelovy grupy A a ukazali jsme, ze torzni Abelova grupa je direktnim souctem svych p-primarnich komponent A(p).
- 12. rijna 2017: Ukazali jsme, ze konecne generovana p-grupa je direktnim souctem cyklickych grup. Odtud plyne, ze konecne generovana torzni grupa je direktnim soucet cyklickych grup.
Na seminari jsem zadal prvni domaci ulohu . Ulohu zaslete do 19. 10. 9:00 nebo odevzdejte na proseminari dne 19. 10.
- 19. rijna 2017: Dokazali jsme jednoznacnost rozkladu konecne generovnych p-grup v direktni soucet cyklickych grup. definovali jsme volnou Abelovu grupu a ukazali jsme, ze podgrupa B volne Abelovy grupy A je volna a rank B je mensi nebo roven ranku A .
Na seminari jsem zadal druhou domaci ulohu . Ulohu zaslete do 26. 10. 9:00 nebo odevzdejte na proseminari dne 26. 10.
- 26. rijna 2017: Zopakovali jsme vlastnosti volnych modulu a ukazali jsme, ze konecne generovana beztorzni Abelova grupa je volna. Popis konecne generovanych Abelovych grup jsme zakoncili dukazem vety, ze konecne generovana Abelova grupa je direktnim souctem sve torzni podgrupy a volne Abelovy grupy.
Na seminari jsem zadal treti domaci ulohu . Ulohu zaslete do 2. 11. 9:00 nebo odevzdejte na proseminari dne 2. 11.
- 2. listopadu 2017: Zopakovali jsme definice oboru integrity, Eukleidovych oboru, oboru hlavnich idealu a Gaussovych oboru a pripomneli si jejich zakladni vlastnosti. Dale jsme podobne jako v pripade konecne generovanych Abelovych grup ukazali, ze podmodul konecne generovaneho volneho modulu A nad oborem hlavnich idealu je volny ranku nejvyse rovneho ranku A .
Zde naleznete poznamku k definici Eukleidovy normy a reseni 3. domaci ulohy.
Na seminari jsem zadal ctvrtou domaci ulohu . Ulohu zaslete do 9. 11. 9:00 nebo odevzdejte na proseminari dne 9. 11.
- 9. listopadu 2017: Ukazali jsme, ze konecne generovany modul M nad oborem hlavnich idealu je direktnim souctem sveho torzniho podmodulu T(M) a volneho modulu konecneho ranku. Konecne generovany torzni modul T se dale rozpada v direktni soucet svych p-primarnich komponent.
Na seminari jsem zadal patou domaci ulohu . Ulohu zaslete do 16. 11. 9:00 nebo odevzdejte na proseminari dne 16. 11.
- 16. listopadu 2017:
Ukazali jsme, ze p-primarni komponenta modulu T(M) je jednoznacne urcena svym typem a ze se rozklada v direktni soucet cyklickych modulu.
Na seminari jsem zadal sestou domaci ulohu .
- 23. listopadu 2017: Ukazali jsme pro kazdy podmodul G konecne generovaneho volneho modulu F nad oborem hlavnich idealu existuje baze F jejiz nasobky tvori bazi G (nektere z nich mohou byt nulove).
Take jsme si ukazali reseni 4. domaci ulohy.
- 30. listopadu 2017: Ukazali jsme, ze konecne generovany torzni modul je direktnim souctem cyklickych modulu jejichz anihilatory tvori klesajici posloupnost. Takova posloupnost anihilatoru je pritom urcena jednoznacne. Zacali jsme studovat moduly nad okruhem T[x] konecne T-dimenze.
Na seminari jsem zadal sedmou domaci ulohu .
- 7. prosince 2017: Definovali jsme minimalni polynom qF endomorfismu F vektoroveho prostoru V nad telesem T. Ukazali jsme, ze pokud je V cyklicky T[x]-modul, ma V bazi, vzhledem ke ktere ma endomorfismus F matici odpovidajici Jordanove bunce.
Na seminari jsem zadal osmou domaci ulohu .
- 14. prosince 2017: Dokonci jsme dukaz vety o Jordanove tvaru ctvercovych matic, ve kterem jsme vyuzili predchozich vysledku popisujici konecne generovane torzni moduly nad obory hlavnich idealu.
Na seminari jsem zadal devatou domaci ulohu .
- 21. prosince 2017: Zopakovali jsme si zaklady Galoisovy teorie az po hlavni vetu popisujici anti-izomorfizmus svazu meziteles rozsireni T < U a podgrup Galoisovy grupy Gal( U:T ).
- 4. ledna 2017: Studovali jsme Galoisovu korespondenci v pripade rozsireni telesa Q racionalnich cisel rozkladovym nadtelesem Q (f) polynomu f(t) = t4 - 2. Ukazali jsme, ze Galoisova grupa tohoto rozsireni je izomorfni osmiprvkove dihedralni grupe a podrobne jsme rozebrali vztahy podgrup teto grupy s podtelesy telesa Q (f).
- 11. ledna 2017: Pomoci prvni Sylowovy vety a hlavni vety Galoisovy teorie jsme ukazali zakladni vetu algebra, tedy to, ze je teleso C vsech komplexnich cisel algebraicky uzavrene. Dukaz krome vyse uvedenych vet vyuziva uz jen elementarni pozorovani, ze kazdy realny polynom licheho stupne ma realny koren a ze kazdy komplexni polynom stupne 2 se rozklada v C v soucin linearnich faktoru.