• View
• Edit
• History
• Print

VarInvLS2526

Variace na invarianci, LS 25/26

Čtvrtek 15:40 - 17:10, posluchárna N2

Seminář, který sestává ze čtyř velmi volně navazujících minisérií, tématicky propojených motivem invariance v matematice. Invarianty, tedy vlastnosti, které se nemění při určitých transformacích, jsou klíčem k pochopení a klasifikaci nejrůznějších matematických objektů: rovinných dláždění, uzlů, geometrií, frekvencí, na nichž mohou kmitat molekuly, číselných množin a mnoha dalších. Seminář je určen především studentům 1. a 2. ročníku všech oborů a nevyžaduje žádné předběžné znalosti nad rámec prvního semestru. Každá minisérie vám umožní seznámit se aktivním způsobem se základy některého matematického oboru, přesahujícího rámec základních kurzů v prvním dvouletí.

Dalibor Šmíd a Lukáš Krump, garanti semináře

Program

19.2., 26.2. a 5.3.: Lukáš Krump: Kleinův Erlangenský program

Nejprve si prozradíme, že euklidovská geometrie (v rovině) není jediná možná geometrie - odebereme-li z ní některé pojmy a požadavky, dostaneme afinní geometrii a dalším odebráním projektivní geometrii. Seznámíme se s myšlenkou, kterou formuloval v roce 1872 Felix Klein, a sice že každá taková geometrie je plně charakterizována grupou svých symetrií, a tedy i pomocí invariantů této grupy. A z projektivní geometrie si volbou jiných grup odvodíme některé typy neeuklidovských geometrií: eliptickou čili sférickou a hyperbolickou čili Lobačevského.

12., 19. a 26.3. a 1.4. Roman Lávička: Roztočme to s kvaterniony

Nejprve si připomeneme, jak vlastně R. Hamilton kvaterniony objevil. Budeme se totiž zabývat otázkou, zda se dají násobit vektory v Eukleidovském prostoru libovolné dimenze. Jak jistě dobře víte, v rovině umíme násobit vektory jako komplexní čísla. Ukážeme si, že v prostoru dimenze 3 se žádné rozumné násobení zavést nedá. V dimenzi 4 lze naproti tomu zavést aspoň nekomutativní násobení, které vede ke kvaternionům. Dále si vysvětlíme, jak hluboký vztah mají kvaterniony ke geometrii 3-rozměrného a 4-rozměrného prostoru. V těchto dimenzích popíšeme rotace a možná i všechny konformní transformace pomocí kvaternionů.

9., 16., 23 a 30.4.(začátky přednášek této série budou až v 16:00): Fridrich Valach: O uzloch

Matematická teória uzlov pôvodne vznikla pri pokuse o vysvetlenie pozoruhodnej rozmanitosti sveta atómov. Aj keď bol tento pokus neúspešný, teória uzlov prežila do súčasnosti a stalo sa z nej zaujímavé a príťažlivé odvetvie matematiky. V tejto minisérii si najprv vysvetlíme, čo to tie uzly vlastne sú a ako ich možno (prípadne nemožno) rozlíšiť. Ukážeme si, ako sa uzly zakresľujú, čo je to trojofarbiteľnosť a tiež si predstavíme Jonesov polynóm i jeho súvis s geometriou.

7, 14 a 21.5.: Jan Kotrbatý: Oktonionická geometrie

V této minisérii navážeme na sérii R. Lávičky a představíme si tzv. oktoniony. Nejprve si ukážeme, jak lze oktoniony přirozeně definovat jako pokračování řady reálná čísla - komplexní čísla - kvaterniony a také proč oktoniony tato řada končí. Ve druhé přednášce si připomeneme základy projektivní geometrie a uvidíme, jak lze pomocí oktonionů zkonstruovat rovinu, která nesplñuje jednu ze základních vlastností klasické (reálné či komplexní) projektivní geometrie, tzv. Desarguesovu větu. Nakonec budeme diskutovat, jak se oktoniony uplatňují při konstrukci důležitých tříd prostorových transformací a geometrických invariantů.

Zápočet

Součástí každé minisérie budou i problémy doplňující a rozšiřující výklad jednotlivých přednášejících. Za vyřešení problému, ať už v rámci semináře, nebo doma s odevzdáním na následující hodině, budou přednášející udělovat 1-3 body za problém v závislosti na jeho obtížnosti. K udělení zápočtu je třeba získat alespoň 4 body v každé z alespoň 3 minisérií.