Vítám vás na stránkách Matematiky A. Důkladně si je pročtěte - najdete v nich mnoho užitečných informací a
odpovědi na většinu možných otázek.
Přednáška 55F100 Matematika A má dvojitou časovou dotaci. Koná se v pondělí 14:30-16:00 (RB101) + ve středu 18:00-19:30 (Likešova aula).
| Datum. Stručný obsah | Domácí úkoly | Slajdy z přednášky |
| 16.9. Organizační věci. Motivace ke studiu matematiky. I. První setkání s funkcemi. Reálná čísla, intervaly. Množinové a logické operace, kvantifikátory. Rovnice, nerovnice a grafy jednoduchých funkcí v kartézských souřadnicích: (a) Lineární rovnice a nerovnice, lineární funkce. | 1 | 1. přednáška |
| 18.9. Význam koeficientů lineární funkce (průsečík s osou y, směrnice přímky, přímka rostoucí/klesající). (b) Kvadratické funkce a rovnice diskriminant, výpočet kořenů, Vietovy vztahy, graf, význam koeficientů (konvexita, konkavita), výpočet a znázornění vrcholu paraboly (odvození souřadnic doplněním na čtverec a z Vietových vztahů). | 2 (doplněný) | 2. přednáška |
|
23.9. Kvadratické nerovnice - řešení pomocí grafu a pomocí tabulky. c) Kubické rovnice a nerovnice (odhadnutí celočíselných kořenů, dělení polynomů), jak asi vypadá graf kubické funkce? d) Rovnice s racionálními
lomenými funkcemi (a řešení nerovnic pomocí tabulky). e) Lineární lomená funkce, asymptoty a střed hyperboly, posun grafu funkce 1/x.
Minitest 24.9.: Kvadratická funkce -- výpočet průsečíků s osami, vrcholu, graf. |
-- | 3. přednáška |
| 25.9. f) Funkce absolutní hodnota. g) Mocniny, odmocniny, mocniny s racionálním exponentem. h) Exponenciála, logaritmus - základní vlastnosti a vzorce. | 3 | 4. přednáška |
|
30.9. Definiční obory funkcí. II. Posloupnosti a limity. Posloupnosti konečné a nekonečné, posloupnost aritmetická, geometrická. Konečná a nekonečná limita posloupnosti, pojem konvergence/divergence,
základní příklady.
Minitest 1.10.: Lineární lomená funkce -- výpočet středu, asymptot, graf. |
4 | 5. přednáška |
| 2.10. Limita aritmetické a geometrické posl., věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu, rozšířené operace s limitami (tj. i s nekonečnými), příklady na výpočet limit. Výpočet limit posloupností, početní finta č.1 (vytknutí členů s nejvyššími mocninami). | 5 | 6. přednáška |
|
7.10. Finta č. 1 též pro neceločíselné mocniny, vytýkání zpod odmocniny. Finta č.2 (vytknutí exponenciál s nejvyššími základy). Finta č.3 (odečtení odmocnin pomocí rozšíření výrazem s
opačným znaménkem). Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí limit jistých posloupností. Ekonomický význam Eulerova čísla. Řady konečné a nekonečné, příklady - zejména geometrická řada. Zavedení Eulerova čísla a
exponenciály pomocí jistých nekonečných řad.
Minitest 8.10.: Určení definičního oboru funkce, jejích průsečíků s osami a kde je kladná/záporná (kombinace odmocnin a rac. lom. funkcí). |
6 | 7. přednáška |
| 9.10. III. Funkce jedné proměnné. Pojem funkce = funkční předpis + definiční obor. Obor hodnot. Pojem prostá funkce, inverzní funkce a jak vznikne její graf z původní funkce. Graf k-té mocniny a odmocniny, exponenciály a logaritmu s přirozeným a s obecným základem. | -- | 8. přednáška |
|
14.10. Pojem složená funkce, spojitost funkce. Limita funkce - definice. Jednostranné limity, základní příklady s limitami. Výpočet limity funkce: věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu, věta o limitě složené
funkce. Rozlišení podle polohy bodu x_0 vzhledem k D_f: 1. v bodě v D_f spojité funkce je limita rovna funkční hodnotě, 2. v krajním bodě D_f - 2a. je-li tímto bodem (plus minus) nekonečno, používáme analogické postupy jako u
limit posloupností s opatrností ohledně znamének.
Minitest 15.10.: Limity posloupností. |
7 | 9. přednáška |
| 16.10. 2b. Je-li daný bod reálný: výpočet limity typu a/0 pomocí tzv. "dělení kladnou a zápornou nulou". Limity exponenciály a logaritmu. Derivace funkce: zavedení. | -- | 10. přednáška |
|
21.10. Derivace základních funkcí. Pravidla pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu, a pro derivaci složené funkce, příklady.
Minitest 22.10.: Limity funkcí v krajních bodech definičního oboru. |
8 | 11. přednáška |
| 23.10. Význam derivace funkce v bodě jako směrnice příslušné tečny, výpočet rovnice tečny v daném bodě. Nekonečná derivace, jednostranné derivace, absolutní hodnota jako příklad funkce, která nemá v 0 derivaci. L'Hospitalovo pravidlo (=Finta č. 4) pro výpočet limity posloupnosti typu 0/0, nekonečno/nekonečno a jeho užití v příkladech (zejména limity kombinací exp a log s mocninami). | 9 10 11 | 12. přednáška |
|
28.10. Státní svátek.
Minitest 29.10.: Derivace funkcí. |
-- | -- |
| 30.10. L'Hospitalovo pravidlo - další příklady. Monotonie funkce (funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající v intervalu). Lokální a globální extrémy, stacionární body. Vztah mezi znaménkem derivace a monotonií funkce. Výjimečné (podezřelé) body = kandidáti na extrém. | -- | 13. přednáška |
|
4.11. Zjištění monotonie mezi dvěma výjimečnými body. Příklady na výpočet monotonie a extrémů. Funkce sudé a liché.
Minitest 5.11.: Úlohy s tečnami ke kvadratické funkci. |
12 | 14. přednáška |
| 6.11. Asymptoty: svislé v bodě, obecné v plus minus nekonečnu, jak poznat vodorovnou asymptotu z limity funkce v nekonečnu, výpočet obecných asymptot v nekonečnu. Konvexita - konkavita, druhá derivace. Přehled dílčích kroků při vyšetření průběhu funkce (Desatero). | 13 | 15. přednáška |
|
11.11. Příklady vyšetření průběhu funkce.
Minitest 12.11.: Určení intervalů monotonie funkce. |
14 | 16. přednáška |
| 13.11. Příklady vyšetření průběhu funkce. Souvislost lok. extrémů a druhé derivace funkce. IV. Funkce více proměnných. Soustavy lineárních rovnic 2x2. | -- | 17. přednáška |
|
18.11. Rovnice přímky, rovnice kružnice, soustavy nelineárních rovnic. Parciální derivace, stacionární bod funkce. Hledání globálních extrémů funkce na kompaktní množině: Pojem kompaktní množiny, vnitřek a okraj
množiny, Weierstrassova věta. Obecné schéma řešení optimalizační úlohy (neboli hledání kandidátů na extrém). Kandidáti ve vnitřku množiny = stacionární body funkce.
Minitest 19.11.: Výpočet asymptot funkce. |
15 | 18. přednáška |
| 20.11. Průběžný test - 1. termín. Více info na Testy, omluvy. Vzorové řešení varianty A. | -- | -- |
|
25.11. Průběžný test - 2. termín. Obsah průběžného testu. Vzorové řešení varianty B.
Minitest 26.11.: Konvexita-konkavita. |
-- | -- |
| 27.11. Rozlišení metod hledání vázaných extrémů podle typu okraje (pro funkce dvou proměnných): (A) dosazovací metoda - na mnohoúhelníku a na množinách s polynomiálními a některými dalšími vazbami. Speciální případ lineární funkce -- nemá stacionární body. | 16 | 19. přednáška |
|
2.12. Pojem matice, Jacobiho matice, determinant, jacobián. (B) Metoda jacobiánu pro dvě proměnné. (C) Metoda Lagrangeových multiplikátorů pro dvě proměnné, příklady a porovnání těchto metod.
Minitest 3.12.: Stacionární body funkce dvou proměnných. |
17 18 | 20. přednáška |
| 4.12. Metoda Lagrangeových multiplikátorů pro více proměnných a více vazeb. | 19 | 21. přednáška |
|
9.12. Determinant matice 3x3. Metoda Jacobiánu pro případ 3 proměnných a 2 vazeb.
Minitest 10.12.: Dosazovací metoda (na jedné úsečce). |
20 | 22. přednáška |
| 11.12. Další příklady na optimalizační úlohy (metoda jacobiánu, Lagr. multiplikátorů), na průběhy funkcí jedné proměnné. | -- | 23. přednáška |
|
Závěrečné informace:
Obsah Závěrečného testu. Zde jsou kompletní testy z předchozích semestrů (zadání, bez řešení). |