MFF UK

Poznámky a tipy k písemkám z Úvodu do funkcionální analýzy

Proč písemky z Úvodu do funkcionální analýzy připadají studentům těžké?


Úzké sepětí výpočtů s teorií:

  • Občas se setkávám s přístupem vycházejícím z předpokladu, že dvě části zkoušky - písemná a ústní - jsou dvě téměř nezávislé věci, že v první se testuje schopnost počítat a ve druhé znalost teorie. Přitom skutečnost je taková, že počítání příkladů je se znalostí teorie úzce svázáno.
  • Platí to nejen ve funkcionální analýze, ale již třeba v základním kurzu matematické analýzy, včetně počítání limit či vyšetřování průběhu funkce. Již tam je potřeba ve výpočtech správně používat znalosti z teorie (věta o aritmetice limit, věta o limitě složené funkce, věta o vztahu znaménka derivace a monotonie atd.). Při počítání není samozřejmě nezbytné znát podrobnosti důkazů, ale je třeba rozumět potřebným větám, jejich znění, tj. hlavně předpokladům a tvrzení.
  • Stává se, že znalost teorie potřebné k počítání (třeba limit, průběhů funkcí nebo třeba hledání extrémů) degeneruje na jakousi kuchařku - seznam algoritmů a několika triků, které je třeba vhodně kombinovat. S takovým přístupem lze za příznivých okolností úspěšně napsat písemku, je však otázkou, k čemu jinému je taková znalost dobrá.
  • Ve funkcionální analýze ovšem taková redukce příliš nefunguje, protože řešení úloh vyžaduje skutečnou aplikaci vět. Platí to například pro věty o reprezentaci duálních prostorů, věty o kompaktních operátorech či věty o spektru operátorů.


Syntetizující povaha funkcionální analýzy:

  • Ve funkcionální analýze se používají nejen vlastní metody funkcionální analýzy vykládané během kurzu, ale i metody, které by studenti měli znát z dřívější doby, zejména z kurzů prvního dvouletí. Patří sem znalosti ze základních kurzů matematické analýzy, teorie míry a lineární algebry.
  • Z kurzů matematické analýzy je potřeba rozumět mj. limitám posloupností, konvergenci řad, vlastnostem spojitých funkcí, stejnoměrné konvergenci, metrickým prostorům (včetně pojmů úplnosti, kompaktnosti a totální omezenosti).
  • Z kurzů lineární algebry je vhodné znát maticový počet (včetně vlastních čísel), vlastnosti lineárních zobrazení mezi prostory konečné dimenze včetně jejich maticové reprezentace.
  • Z kurzu teorie míry a integrálu se používá samozřejmě samotný pojem integrálu podle míry, ale také integrace podle míry s hustotou (hodí se i související Radon-Nikodýmova věta), obraz míry a integrál podle něj i věta o substituci pro integrály přes podmnožiny R^n nebo Fubiniova věta.


Některé chyby a nevhodné postupy, kterými si studenti ztěžují práci


Snaha dokazovat tvrzení elementárně

  • Některá tvrzení je možné dokázat (a některé výpočty je možné provést) tzv. elementárně, tedy bez znalosti a použití metod funkcionální analýzy. To je sice hezké, v některých případech i zajímavé, ale často neefektivní a zdlouhavé. Metody funkcionální analýzy slouží mj. právě k tomu, abychom se zdlouhavým výpočtům a argumentům vyhnuli.
  • Příkladem je důkaz, že zadané lineární zobrazení je spojité. To je samozřejmě možné dokazovat pomocí ε-δ definice, pomocí konvergence posloupností s využitím Heineho věty a všelijak jinak. Ale nejjednodušší a správný postup z hlediska funkcionální analýzy je odhad normy. Například:
    Dokažte, že zobrazení φ:C([0,1])→F definované vzorcem φ(f)=Σn=1 f(1/n)/n2 je spojité.

    Důkaz s použitím funkcionální analýzy: Pokud je zobrazení definované všude, je zřejmě lineární (podle věty o aritmetice limit). Ukážeme, že řada v definici je absolutně konvergentní a při té příležitosti odhadneme:
    Σn=1 |f(1/n)/n2|≤Σn=1 ||f||/n2=||f|| . Σn=1 1/n2.
    Protože řada Σn=11/n2 je konvergentní, je φ dobře definováno a zároveň platí |φ(f)|≤||f|| . Σn=11/n2, tedy φ je spojité a ||φ||≤Σn=11/n2. (A není podstatné, zda známe součet té řady.)

    Důkaz s použitím ε-δ definice: Nejprve dokážeme, že φ je dobře definované. To dokážeme tak, že ověříme, že řada ve vzorci konverguje (dokonce absolutně). Výpočet je podobný jako výše. Dále ukážeme spojitost. Nechť f∈C([0,1]) a ε>0. Pro g∈C([0,1]) odhadneme φ(g)-φ(f):
    |φ(g)-φ(f)|=|Σn=1 g(1/n)/n2n=1 f(1/n)/n2| =|Σn=1 (g(1/n)-f(1/n))/n2|
    ≤Σn=1 |g(1/n)-f(1/n)|/n2≤ Σn=1 ||g-f||/n2=||g-f|| . Σn=11/n2
    .
    Protože řada Σn=1 1/n2 je konvergentní, stačí vzít δ=ε/Σn=1 1/n2.

    Důkaz s použitím Heineho věty: Nejprve dokážeme, že φ je dobře definované. To dokážeme tak, že ověříme, že řada ve vzorci konverguje (dokonce absolutně). Výpočet je podobný jako výše. Dále ukážeme spojitost. Nechť (fk) je posloupnost konvergující v C([0,1]) k f. To znamená, že (fk) je posloupnost spojitých funkcí konvergující stejnoměrně k funkci f. To, co potřebujeme dokázat, je limk→∞Σn=1 fk(1/n)/n2n=1 f(1/n)/n2. To lze dokázat více způsoby - napříkad pomocí Moore-Osgoodovy věty, protože řada Σn=1 fk(1/n)/n2 konverguje stejnoměrně (vzhledem ke k), což plyne z Weierstrassova kritéria, protože řada Σn=1 1/n2 konverguje a posloupnost (fk) je stejně omezená (díky tomu, že je to stejnoměrně konvergentní posloupnost omezených funkcí).

    Komentář: Všechny tři cesty vedou k cíli. Ale nejlepší je první způsob. Je zároveň nejrychlejší. V ostatních způsobech totiž musíme udělat na začátku stejné odhady (i když třeba méně pečlivě) a pak ještě přemýšlet, počítat a psát dále. Zatímco první způsob znamená, že ty odhady uděláme jen o maličko pečlivěji a již máme hotovo. Úspora času je aspoň poloviční, ne-li vyšší.
  • I v případě, že spojitost lineárního zobrazení dokazujeme pomocí odhadu normy, je na místě používat metody funkcionální analýzy (Hölderovu nerovnost, trojúhelníkovou nerovnost pro známé normy atp.) a nespoléhat se pouze na elementární výpočty a odhady. Například:
    Dokažte, že vzorec T((xn))=(x1/n + x2/n2+xn/3) definuje spojitý lineární operátor na 3.

    Důkaz s použitím funkcionální analýzy: Vidíme, že T((xn))=x1.(1/n) + x2.(1/n2)+1/3.(xn). Protože posloupnosti (1/n) i (1/n2) patří do 3, je T opravdu zobrazení 3 do 3. Navíc je zřejmě lineární. Pro odhad normy použijeme trojúhelníkovou nerovnost v 3:
    ||T((xn))||=||x1.(1/n) + x2.(1/n2)+1/3.(xn)|| ≤ |x1|.||(1/n)|| + |x2|.||(1/n2)||+1/3.||(xn)||
    ≤ (||(1/n)|| + ||(1/n2)||+1/3).||(xn)||,
    z čehož plyne, že T je spojité a ||T||≤||(1/n)|| + ||(1/n2)||+1/3.

    Pokus o elementární výpočet: Chceme nějak odhadnout Σn=1 |x1/n + x2/n2+xn/3|3. Ve výpočtech se nejspíš zamotáme a k ničemu nedojdeme. Pokud ovšem máme dost času, vytrvalosti a nápadů, může se nám podařit v tomto případě imitovat důkaz Minkowského nerovnosti pro p=3 a k cíli dojít. Ale je to zbytečná námaha, protože tu nerovnost známe a není třeba ji dokazovat v každém konkrétním případě.
  • Chceme-li ukázat, že lineární zobrazení T:X→Y je izomorfismus (X do Y), je možné použít (mj.) jeden ze tří postupů:
    1. Ukážeme, že T je spojité, prosté a inverzní zobrazení T-1 je spojité na T(X).
    2. Ukážeme, že existují konstanty c,d>0 takové, že pro každé x∈X platí c.||x||≤||T(x)||≤d.||x||.
    3. Jsou-li X,Y Banachovy prostory, stačí ověřit, že T je spojité, prosté a T(X) je uzavřený podprostor Y.
    V praxi nejsnazší bývá postup b. Postup c je vhodný v případě, že je nějak snadno vidět, že T(X) je uzavřený podprostor. Postup a obvykle vhodný není, protože při jeho aplikaci buď fakticky použijeme postup b nebo bude řešení výrazně delší.
  • Máme-li za úkol spočítat přesně normu funkcionálu, může to dát trochu víc práce, v závislosti na volbě prostoru a vzorce pro funkcionál. Ale jsou některé případy, kdy není třeba počítat téměř nic, protože je možné použít známé reprezentace duálů klasických Banachových prostorů. Například:
    Nechť μ je míra na (0,∞) s hustotou t↦t2 vůči Lebesgueově míře. Pro která p∈[1,∞) definuje vzorec φ(f)=∫01 f(t) dt spojitý lineární funkcionál na Lp(μ)? Určete též normu tohoto funkcionálu.

    Řešení s použitím vět o reprezentaci duálů: Nejprve vzorec pro φ upravíme, aby bylo vidět, jak souvisí s mírou μ.
    φ(f)=∫01 f(t) dt= ∫01 f(t)/t2. t2 dt = ∫(0,1) f(t)/t2 dμ(t) = ∫(0,∞) f(t).χ(0,1)(t)/t2 dμ(t).
    Protože duál k prostoru Lp(μ) je izometrický prostoru Lq(μ), kde q je duální exponent k p (a zároveň víme, jak tato izometrie vypadá), je φ spojitý lineární funkcionál na Lp(μ), právě když funkce χ(0,1)(t)/t2 patří do Lq(μ). Další řešení rozdělíme na dva případy:
    p=1: Pak q=∞. Funkce χ(0,1)(t)/t2 není esenciálně omezená (například protože na (0,1) je spojitá a neomezená), proto φ nedefinuje spojitý lineární funkcionál na L1(μ).
    p∈(1,∞): Pak q∈(1,∞). Funkce χ(0,1)(t)/t2 patří do Lq(μ), právě když konverguje integrál (0,∞)(0,1)(t)/t2)q dμ(t)= ∫(0,1) 1/t2q dμ(t) =∫(0,1) 1/t2q. t2 dt=∫(0,1) t2-2q dt. Ten ovšem konverguje, právě když 2-2q>-1, neboli q<3/2. Protože q=p/(p-1), je to ekvivalentní nerovnosti p>3. Tedy φ je spojitý lineární funkcionál na Lp(μ), právě když p>3. Norma funkcionálu je pak rovna normě funkce χ(0,1)(t)/t2 v Lq(μ), tedy dle výše uvedeného výpočtu je tato norma rovna
    ||φ||=(∫(0,1) t2-2q dt)1/q=([t3-2q/(3-2q)]01)1/q=(1/(3-2q))1/q =((p-1)/(p-3))(p-1)/p.


    Řešení bez použití vět o reprezentaci duálů: První krok je stejný - vyjádříme φ(f)=∫(0,1) f(t)/t2 dμ(t) a další řešení rozdělíme na případy p=1 a p∈(1,∞). Pro případ p=1 uvažme funkce χ(0,1). Tato funkce patří do L1(μ), protože (0,1) 1 dμ(t)=∫(0,1) t2 dt=1/3, ale φ(f) není definováno, proto φ nedefinuje spojitý lineární funkcionál na L1(μ).
    Dále uvažujme p∈(1,∞). Označme q duální exponent a použijme Hölderovu nerovnost:
    |φ(f)|=|∫(0,1) f(t)/t2 dμ(t)|≤ ||f||p.(∫(0,1) 1/t2q dμ(t))1/q.
    Nyní použijeme stejné výpočty jako při prvním postupu a odvodíme, že pro p>3 je funkcionál spojitý a jeho norma je nejvýše rovna ((p-1)/(p-3))(p-1)/p. Zbývá ještě ukázat, že norma se rovná této hodnotě a že pro p≤3 φ není spojitý lineární funkcionál. První tvrzení se dokáže volbou f(t)= ((p-3)/(p-1))1/p.1/t2/(p-1) (na to se přijde použitím znalosti, kdy v Hölderově nerovnosti nastává rovnosti, tj. metodou z důkazu věty o reprezentaci). Pro důkaz druhého tvrzení lze zvolit například posloupnost fn=gn/||gn||p, kde gn(t)=1/t2/(p-1)(1/n,1)(t). Pak totiž ||fn||=1 a φ(fn)→∞.

    Komentář: Nechceme-li použít větu o reprezentaci duálů, nejspíš musíme použít řadu věcí z jejího důkazu, čímž se výpočet stává delším a složitějším.
  • Při počítání norem a vzdáleností v Hilbertových prostorech je dobré používat Pythagorovu větu a Parsevalovu rovnost, kdykoli je to možné. K tomu také tyto věty slouží, zároveň si tím zjednodušíme práci a vyhneme se opakování již provedených výpočtů. Například:
    Nechť H=L2(μ), kde μ je míra na (0,∞) s hustotou t↦e-t. Pro n∈N∪{0} nechť fn(t)=tn. Najděte nejbližší bod k prvku f3 v prostoru Y=span{f0,f1,f2}.

    Toto bylo součástí jednoho příkladu v písemce. Ještě předtím se měla najít nějaká ortonormální báze prostoru Y. Jako první krok řešení bylo vhodné (dle doporučení v zadání) spočítat, že (0,∞) tn dμ(t)=n! pro n∈N∪{0}. Pak se běžným způsobem spočítala ortonormální báze, která vyšla u0(t)=1, u1(t)=t-1, u2(t)=t2/2-2t+1.

    Nejbližší bod: Ten najdeme jako hodnotu ortogonální projekce, tedy to bude g=<f3,u0>.u0+<f3,u1>.u1+<f3,u2>.u2. Spočteme tedy <f3,u0>=6, <f3,u1>=18 a <f3,u2>=18. Po úpravě vyjde g(t)=9t2-18t+6.

    Výpočet vzdálenosti pomocí metod funkcionální analýzy: Víme, že g je nejbližší bod, a tedy dist(f3,Y)=||f3-g||. Zároveň víme, že g⊥f3-g, a tedy dle Pythagorovy věty je ||f3-g||2= ||f3||2-||g||2. Přitom ||f3||2=∫(0,∞) t6 dμ(t)=6!=720. Z předchozího výpočtu víme, že g=6u0+18u1+18u2, a tedy podle Parsevalovy rovnosti ||g||2=62+182+182=62(1+9+9)=36.19. Jest tedy dist(f3,Y)=√(720-36.19)=√(36)=6.

    Elementární výpočet vzdálenosti: Víme, že g je nejbližší bod, a tedy dist(f3,Y)=||f3-g||. Tedy
    dist(f3,Y)2=∫(0,∞) (t3-9t2+18t-6)2 dμ(t) =∫(0,∞) (t6+81t4+182t2+36-18 t5+36t4-12t3 -324t3+108t2-216t) dμ(t)
    =∫(0,∞) (t6-18 t5+117t4-336t3+432t2-216t+ 36) dμ(t) = 720-18.120+117.24-336.6+432.2-216+36
    =20.36-60.36+78.36-56.36+36.24-6.36+36=36.(-40+22+24-5)=36,
    tedy vzdálenost je 6.

    Komentář: Elementární výpočet není výrazně delší, ale nechť si každý uváží, zda by tento výpočet chtěl provádět v časové tísni (bez kalkulačky a softwaru). V takovýchto výpočtech se snadno udělá chyba a studenti výpočty tohoto druhu navíc často vzdávají.
  • Chceme-li dokázat, že nějaký operátor T∈L(X,Y) je kompaktní, je více možností jak postupovat. Mj. tyto:
    1. Dokážeme přímo, že T(BX) je relativně kompaktní (nebo totálně omezená).
    2. Ukážeme, že z každé omezené posloupnosti (xn) v X lze vybrat taková podposloupnost (xnk), že posloupnost (T(xnk)) je konvergentní v Y.
    3. Najdeme posloupnost (Tn) konečnědimenzionálních operátorů v L(X,Y), pro kterou platí ||Tn-T||→0.
    4. V případě, že Y=C(K), je možné použít Arzela-Ascoliovu větu na množinu T(BX).
    Přitom v konkrétních příkladech se většinou hodí spíše postupy c nebo d. Postup a slouží především jako definice a metoda ověření kompaktnosti v důkazech vět. Postup b se též používá v důkazech vět a jeho obrácení k důkazu nekompaktnosti operátoru. Například:
    Dokažte, že operátor T:c0(Z)→c0(Z) definovaný vzorcem T((xn))=((xn++x-n)/(1+|n|))n∈Z je kompaktní.

    Toto byl jeden krok v řešení příkladu z písemky. Byl k němu uvedený návod, že je vhodné odhadnout normu ||T-PnT||, kde Pn je kanonicka projekce na c0(Z), ktera vynuluje všechny souřadnice s indexem k pro |k|>n.

    Řešení pomocí postupu c s využitím návodu: Operátor PnT je konečnědimenzionální, protože jeho obor hodnot je obsažen v podprostoru dimenze 2n+1 tvořeném prvky, jejichž všechny souřadnice s výjimkou pozic -n,...,n jsou nulové. Odhadneme tedy, jak je naznačeno normu ||T-PnT||. Nechť tedy (xk) je prvek c0(Z) s normou nejvýše 1. Protože pracujeme se supremovou normou, platí
    ||(T-PnT)((xk))||=sup {|(xk++x-k)/(1+|k|)| : |k|>n} ≤ sup {(|xk+|+|x-k|)/(1+|k|) : |k|>n}
    ≤ sup {2/(1+|k|) : |k|>n} =2/(2+n).
    Proto ||T-PnT||≤2/(2+n)→0, a tedy T je kompaktní podle postupu c.

    Řešení pomocí postupu a, tj. s využitím definice: Nechť ε>0. Chceme najít konečnou ε-síť množiny T(Bc0(Z)). Všimneme si, že pro x,y∈Bc0(Z) platí
    ||Tx-Ty||≤||PnTx-PnTy||+||(Tx-PnTx)-(Ty-PnTy)||≤ ||PnTx-PnTy||+4/(2+n),
    kde použijeme podobný výpočet jako v prvním postupu. Zvolme tedy n tak velké, aby 4/(2+n)<ε/2. Pro toto n si uvědomme, že Pn(T(Bc0(Z))) je omezená množina v podprostoru konečné dimenze, a tedy je totálně omezená. Proto najdeme takové body x1,...,xm∈Bc0(Z), že PnTx1,...,PnTxm tvoří ε/2-síť množiny Pn(T(Bc0(Z))). Ukážeme nyní, že Tx1,...,Txm tvoří ε-síť množiny T(Bc0(Z)): Nechť y∈T(Bc0(Z)). Zvolme x∈Bc0(Z), aby platilo y=Tx. Najděme j, aby ||PnTx-PnTxj||<ε/2. Then
    ||y-Txj||=||Tx-Txj||≤||PnTx-PnTxj||+4/(2+n)<ε/2+ε/2=ε,
    což dokončí důkaz.

    Řešení pomocí postupu b: Nechť (xm) je omezená posloupnost v c0(Z). Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že tato posloupnost je obsažena v jednotkové kouli. Posloupnost (Txm) je také omezená (protože T je spojitý lineární operátor), a tedy pro každé n je posloupnost příslušných souřadnic (Txm)n)m omezená. Postupně vybíráme konvergentní posloupnosti:
    • (x1,m) je vybraná posloupnost z (xm), pro kterou je ((Tx1,m)0) konvergentní.
    • (x2,m) je vybraná posloupnost z (x1,m), pro kterou je ((Tx2,m)1) konvergentní.
    • (x3,m) je vybraná posloupnost z (x2,m), pro kterou je ((Tx3,m)-1) konvergentní.
    • (x4,m) je vybraná posloupnost z (x3,m), pro kterou je ((Tx4,m)2) konvergentní.
    • (x5,m) je vybraná posloupnost z (x4,m), pro kterou je ((Tx5,m)-2) konvergentní.
    • Atd. indukcí.
    Uvažme nyní posloupnost (ym)=(xm,m). To je vybraná posloupnost z posloupnosti (xm) a pro každé n∈Z je posloupnost (Tymn)m konvergentní. Označme zn=limmTymn. Zbývá ukázat, že z=(zn)∈c0(Z) a ||Tym-z||→0. To lze sice udělat najednou, ale pro přehlednost to provedeme postupně.
    Nechť ε>0. Zvolme n∈N, aby 2/(2+n)<ε. Potom pro každé m∈N a každé k∈Z splňující |k|>n platí |(Tx5,m)k|≤ε (viz výpočet v prvním postupu). Limitním přechodem dostaneme |zk|≤ε pro |k|>n. To dokazuje, že z∈c0(Z).
    Pro důkaz konvergence zvolme opět ε>0 a n∈N, aby 2/(2+n)<ε. Protože PnTym→Pnz (z konstrukce plyne konvergence po souřadnicích, která v konečněrozměrném prostoru dává konvergenci v normě), existuje m0, že pro m≥m0 platí ||PnTym-Pnz||<ε. Tedy pro m≥m0 je
    ||Tym-z||≤ ||Tym-PnTym||+||PnTym-Pnz||+||Pnz-z||<3ε.
    To dokazuje konvergenci.

    Komentář: Druhý postup vlastně spočívá v důkazu věty, na níž je založen postup c. Proto jsme museli provést stejné odhady jako při prvním postupu a kromě toho ještě leccos navíc. Třetí postup byl ještě delší - opět spočívá v důkazu věty, na níž je založen postup c, tentokrát ovšem na složitější verzi důkazu. Myslím, že při tomto srovnání je zřejmé, který postup je vhodné zvolit. Zejména zdůrazňuji, že odhady z prvního postupu je třeba provést i v dalších verzích, kde jsou součástí delší argumentace.


Nevyužití poskytnutého návodu:
U některých úloh je součástí zadání i návod, jak postupovat, jak provést konkrétní krok nebo jakou větu použít. Využití návodu není samozřejmě nezbytné, ale bývá vhodné. Všechny příklady, co zadávám do písemek, pokusně řeším metodami, co by studenti měli znát. A narazím-li na nějakou nesamozřejmou souvislost, neautomatickou aplikaci některé věty atp., upozorním na to v návodu. Může se samozřejmě stát, že student nevezme v úvahu návod a úlohu vyřeší snáze po svém, ale stává se to zřídka.


Zmatek v chápání funkcionálů a operátorů

  • Ve funkcionální analýze je důležité studium různých zobrazení, zejména funkcionálů a operátorů. Přitom funkcionálem se tradičně označuje zobrazení definované na Banachově prostoru, jehož hodnoty jsou čísla (reálná či komplexní), operátorem se označují zobrazení mezi Banachovými prostory. Protože těleso skalárů (tj. R nebo C) je speciálním případem Banachova prostoru, lze funkcionály chápat jako speciální druh operátorů. Ale je dobré tomuto tradičnímu rozlišení rozumět.
    Speciálně, řekneme-li funkcionál na prostoru X, myslíme tím zobrazení X→F, zatímco operátor na prostoru X je zobrazení X→X.
  • Odhadujeme-li normu funkcionálu f, dokazujeme nerovnost tvaru |f(x)|≤C.||x||.
    Odhadujeme-li normu operátoru T, dokazujeme nerovnost tvaru ||T(x)||≤C.||x||.
    V jednom případě je na levé straně absolutní hodnota čísla, ve druhém případě norma vektoru. Opět, číslo je speciální případ vektoru a absolutní hodnota je speciální případ normy, takže v principu není chyba psát v obou případech normu. Ale pro někoho to může být matoucí, ono rozlišení je užitečné.
  • Jednoduchý příklad:
    Uvažme funkcionál na prostoru 2 definovaný předpisem f(x)=Σn xn/n. Opomeňme na chvíli, že známe reprezentaci duálu, a odhadněme normu pomocí běžných nerovností:

    Správný postup: Pro x∈ℓ2 platí:
    |f(x)|=|Σn xn/n| ≤ Σn |xn/n| ≤ (Σn |xn|2)1/2n1/n2)1/2,
    tedy ||f||≤(Σn1/n2)1/2.

    Nesmyslný postup, který připomíná některé výpočty studentů: Pro x∈ℓ2 platí:
    ||f(x)||22n |xn/n|2 ≤ ...


    Komentář: f(x) je číslo (součet jisté řady), jehož absolutní hodnotu odhadujeme. Není to vektor. Ta suma značí součet řady, výsledek je číslo, je třeba s tím zacházet jako s jedním číslem - součtem, z něhož nelze odvodit hodnoty sčítanců.
  • Ještě jeden příklad stejného typu:
    Zopakujme jednu z výše uvedených úloh: Nechť μ je míra na (0,∞) s hustotou t↦t2 vůči Lebesgueově míře. Pro která p∈[1,∞) definuje vzorec φ(f)=∫01 f(t) dt spojitý lineární funkcionál na Lp(μ)? Určete též normu tohoto funkcionálu. (Opomeňme opět, že známe reprezentaci duálu, a odhadujme normu pomocí běžných nerovností. Omezme se na p>1.)

    Správný postup: Pro f∈Lp(μ) platí (pokud integrály konvergují):
    |φ(f)|=|∫01 f(t) dt|=|∫(0,1) f(t)/t2 dμ(t)|≤ ||f||p.(∫(0,1) 1/t2q dμ(t))1/q.
    tedy ||φ||≤(∫(0,1) 1/t2q dμ(t))1/q (pokud integrál konverguje).

    Nesmyslný postup, který připomíná některé výpočty studentů: Pro f∈Lp(μ) platí:
    ||φ(f)||pp=∫01 |f(t)|p dt= ...


    Komentář: φ(f) je číslo (hodnota integrálu), jehož absolutní hodnotu odhadujeme. Není to funkce, z níž máme počítat normu. S hodnotou integrálu je třeba zacházet jako s jedním číslem, z něhož nelze odvodit tvar integrované funkce.