23. unora 2018: Na prednasce jsme definovali topologii, bazi topologie, uzavrene mnoziny a uzaverovy operator na mnozine, vnitrek a hranici mnoziny. Dale jsme zkoumali konvergenci v topologickych prostorech: Definovali jsme pojem site, limity a hromadneho bodu site. Ukazali jsme, ze hromadny bod site je limitou nejakeho zjemneni teto site.
2. brezna 2018: Definovali jsme spojita zobrazeni a zkoumali jsme ruzne jejich charakterizace. Mimo jine jsme tak ukazali, ze zobrazeni je spojite prave kdyz zachovava limity siti. Ve druhe casti prednasky jsme definovali oddelovaci axiomy T0-T4. Charakterizovali jsme Hausdorffovy prostory tak, ze kazda sit ma nejvyse jednu limitu a ukazali jsme Urysohnovo lemma, ze kazdy normalni prostor je Tichonovuv.
9. brezna 2018: Definovali jsme kompaktni prostor jako Hausdorffuv prostor takovy, ze z kazdeho jeho otevreneho pokryti lze vybrat konecne podpokryti. Ukazali jsme dale, ze Hausdorffuv prostor je kompaktni prave kdyz ma kazdy system uzavrenych mnozin s konecnou prunikovou vlastnosti neprazdny prunik a take prave kdyz ma kazda sit v tomto prostoru alespon jeden hromadny bod. Dale jsme ukazali, ze je kazdy kompaktni prostor normalni a ze uzavrene podmnoziny kompaktniho prostoru jsou prave jeho kompaktni podmnoziny.
16. brezna 2018: Nejprve jsme ukazali, že topologicky prostor je kvazikompaktni prave kdyz kazde jeho pokryti mnozinami z dane (fixni) sub-baze obsahuje konecne podpokryti. Dale jsme zavedli topologii definovanou mnozinou zobrazeni z dane mnoziny do topologickych prostoru. Specialnim pripadem takove topologie je soucinova topologie, ktera je definovana projekcemi na jednotlive souradnice. Ukazali jsme, že soucin Ti prostoru je Ti prostor pro kazde i = 0,1,2,3,3½. Nakonec jsme ukazali Tichonovovu vetu ze soucin (kvazi)kompaktnich prostoru je (kvazi)kompaktni.
23. brezna 2018: Definovali a charakterizovali jsme otevrena a uzavrena zobrazeni. Definovali jsme diagonalni zobrazeni do kartezskeho soucinu topologickych prostoru. Ukazali jsme, ze kdyz sobor zobrazeni oddeluje body a otevrene mnoziny a vychozi prostor je T1, je diagonalni zobrazeni homeomorfnim vnorenim na podprostor kartezskeho soucinu. To jsme vyuzili k dukazu toho, ze Tichonovovy prostory jsou prave podprostory kompaktnich prostoru a kompaktni prostory jsou prave uzavrene podprostory kartezskych mocnin uzavreneho intervalu <0,1>.
6. dubna 2018: Nejprve jsme zkoumali husté podmnožiny topologických prostorů. Pak jsme definovali lokálně kompaktní prostory. Ukázali jsme, že tyto prostory jsou Tichonovovy a že lokálně kompaktní podprostor kompaktního prostoru je průnikem jeho otevřené a uzavřené podmnožiny. Lokálně kompaktní prostory jsme charakterizovali jako husté otevřené podmnožiny kompaktních prostorů.
13. dubna 2018: Studovali jsme rozšíření spojitých zobrazení z podprostorů topologických prostorů. Definovali jsme pojem kompaktifikace a uvazili mnozinu C(X) vsech kompaktifikaci Tichonovova prostoru X. Na mnozine C(X) jsme definovali tranzitivni a reflexivni relaci (tj., pred-usporadani) a ukazali jsme, ze ekvivalence indukovana touto relaci odpovida homeomorfismu kompaktifikaci. Nakonec jsme charakterizovali lokalne kompaktni mnoziny pomoci jejich kompaktifikaci.
20. dubna 2018: Ukazali jsme, ze kazda neprazdna mnozina kompaktifikaci Tichonovova prostoru X ma nejvetsi prvek vzhledem k pred-usporadani mnoziny C(X). Proto existuje nejvetsi kompaktifikace prostoru X. Znacime ji βX a nazyvame Cechova-Stoneova kompaktifikace. Dale jsme ukazali, ze C(X) ma nejmensi prvek prave kdyz je prostor X lokalne kompaktni a tento prvek je nutne jednobodova kompaktifikace X. V zaveru prednasky jsme definovali kategorie a funktory.
27. dubna 2018: Popsali jsme ruzne typy morfismu: izomorfismy, monomorfismy, epimorfismy, stepitelne monomorfismy a epimorfismy. Definovali jsme prirozene transformace funktoru. Ukazali jsme jaky je rozdil mezi izomorfismem a ekvivalenci kategorii. Nakonec jsme popsali kovariantni a kontravarinatni hom-funktory do kategorie mnozin.
4. kvetna 2018: Definovali jsme pojem univerzalniho morfismu z objektu do funktoru a univerzalniho objektu funktoru (dualne pojem univerzalniho morfismu z funktoru do objektu a univerzalniho objektu z funktoru). Ukazali jsme, ze si oba tyto pojmy odpovidaji. Popsali jsme kategorii AJ funktoru z kategorie J do kategorie A a definovali diagram v A jako objekt kategorie AJ . Definovali jsme pojem kuzelu nad (dualne pod) diagramem D a limitu (resp. kolimitu) diagramu D jako univerzalni kuzel nad (resp. pod) D.
11. kvetna 2018: Studovali jsme souciny (dualne kosouciny) a ekvalizery (dualne koekvalizery) a popsali je v kategoriich mnozin, vektorovych prostoru a v kategorii grup. Ukazali jsme, ze kategorie je kompletni (ma limity libovolnych diagramu) prave kdyz ma libovolne souciny a ekvalizery. Dualne, kategorie je kokompletni (ma kolimity libovolnych diagramu) prave kdyz ma libovolne kosouciny a koekvalizery. Dale jsme studovali reprezentovatelne funktory a ukazali Younedovo lemma.
18. kvetna 2018: Ukazeme, ze hom-funktory indukuji pro kazdy morfismus f prirozene transformace f* a f*. Definujeme adjunkci z kategorie X do kategorie A setavajici z dvojice opacnych funktoru F: X –› A, G: A –› X a izomorfismu φx,a: homA (F(x),a) –› homX (x,G(a)) prirozeneho v obou souradnicich. Ukazeme, ze adjunkce umozni sestrojit prirozenou transfomaci η z I X do GF slozenou z univerzalnich morfismu do G a prirozenou transfomaci ε z FG do I A slozenou z univerzalnich morfismu z F. Nakonec ukazeme, ze je adjunkce temito prirozenymi transformacemi urcena.