Úvodní kurz z matematiky
pro nastupující posluchače 1. ročníku MFF UK

Praha, 25.-28.9.2023

Těsně před začátkem akademického roku se jako každoročně koná úvodní kurz středoškolské matematiky pro studenty, kteří nastupují do prvního ročníku bakalářského studia na MFF UK. Účastnit se mohou studenti matematiky, informatiky, fyziky nebo některého z učitelských programů. Cílem tohoto kurzu je především pomoci studentům při přechodu ze střední školy na školu vysokou, osvěžit či připomenout středoškolské znalosti matematiky, případně trochu "rozhýbat mozkové závity" po prázdninách a také se možná dozvědět špetku něčeho nového.

  • Přihlášení na kurz: Kurz je nepovinný a není ani nutné se na něj jakkoli přihlašovat, stačí se dostavit. Lze si rovněž z níže uvedeného obsahu vybrat jen ta témata, která vás nejvíce zajímají a dostavit se pouze na ně.

  • Cena kurzu: Kurz je poskytován bezplatně, a to přednostně studentům, kteří byli přijati v daném akademickém roce ke studiu na MFF UK na libovolném z bakalářských studijních programů.

  • Jít či nejít? To necháváme na vás. Podívejte se dolů na bodový scénář kurzu a rozhodněte se, jestli uvítáte osvěžení nějakého z témat, či dojdete k přesvědčení, že se dokonce můžete dozvědět něco nového. Klidně si však můžete vše zopakovat pomocí vhodné literatury také sami.

Organizace kurzu

  • Kurz se koná ve dnech

    25.9. (pondělí) - 28.9. (čtvrtek) 2023
    v posluchárně N1, v nové budově MFF UK V Holešovičkách 747/2, Praha 8 – Libeň
    (klikněte na mapku a dostanete se na mapy.cz)
    podle níže uvedeného časového rozpisu kurzu.

    Speciálně upozorňujeme na to, že kurz se skutečně koná i v den státního svátku 28.9.

Ubytování pro mimopražské účastníky

Pro mimopražské účastníky kurzu je k dispozici na dobu konání kurzu ubytování (nikoli zdarma, ale za příslušnou studentskou cenu) v pražských kolejích.

Pro ubytování studentů platí tato pravidla:

  • Studenti, kteří obdrželi/obdrží pro daný akademický rok kolej, mohou být ubytováni rovnou na místo, kde poté budou bydlet po celý školní rok. Na ubytování lze nastoupit již počínaje cca půlkou září, lze tedy bydlet na koleji již dříve, než samotný kurz začne.
  • Studenti, kteří mají mimopražské bydliště, a pro daný akademický rok kolej neobdrželi, mohou být (v případě volné kapacity) také ubytováni, ale pouze na týden konání kurzu. Těmto studentům doporučujeme, aby konzultovali stránky http://kam.cuni.cz/, kde lze zjistit konkrétní možnost ubytování.

Časový rozvrh kurzu

Kurz vedou pracovníci MFF UK, a sice Doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. (organizátor kurzu), Doc. RNDr. Antonín Slavík, Ph.D., Mgr. Zdeněk Halas, DiS, Ph.D., a Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D., a to podle níže uvedeného rozvrhu.

Každá přednáška je zde uvedena v délce 2,5 hodiny, předpokládá se však, že někde uprostřed takové přednášky bude pauza.

Pondělí, 25. září 2023  
  12:30 - 15:00    D. Šmíd    Rovnice a nerovnice v reálném oboru       Úlohy       Řešení úloh
  15:15 - 17:45    A. Slavík    Kombinatorika       Úlohy i s řešením
 
Úterý, 26. září 2023  
  9:30 - 12:00    D. Šmíd    Posloupnosti reálných čísel, důkazy       Úlohy (posloupnosti)       Úlohy (důkazy)
  13:00 - 15:30    Z. Halas    Analytická geometrie       Úlohy
 
Středa 27. září 2023  
  9:30 - 12:00    Z. Halas    Goniometrie       Úlohy
  14:00 - 16:30    M. Rokyta    Elementární funkce       Úlohy i s řešením
 
Čtvrtek, 28. září 2023  
  9:30 - 12:00    M. Rokyta    Komplexní čísla       Úlohy i s řešením
  12:00 - 12:10    M. Rokyta    Závěr, připomínky, dotazy, diskuse  

Záznam z kurzu z roku 2020

V září 2020 se kurz uskutečnil kvůli covidu distanční formou. Byl celý streamován a nahráván. Příslušné nahrávky si můžete prohlédnout na youtube kanálu MFF UK. Mohou také sloužit těm, kteří se nebudou moci kurzu zúčastnit osobně, i když osobní účast je vždy lepší už proto, že můžete klást dotazy.

Co po kurzu?

Po tomto kurzu, který je určen jak pro studenty programu matematika, tak fyzika ci informatika (a samozřejmě i učitelství) je ještě možnost se účastnit speciálního jeden a půl denního kurzu z matematických metod fyziky, určeného zejména pro studenty fyziky. Upozorňujeme, že veškerá látka, probíraná na tomto kurzu je součastí standardní výuky matematiky všech studijních programů v prvním ročníku. Zdá se však, že zejména studenti fyziky občas potřebují znát některé matematické pojmy trochu dříve, než na ně v přednáškách matematiky přijde řada - proto tedy tento druhý kurz, určený především pro ně.

A poté už začne normální výuka na MFF UK. Pokud však máte pocit, že byste rádi i v průběhu semestru navštěvovali nějaký seminář, na kterém budou dále pilovány vaše středoškolské (početní i jiné) dovednosti, pak zvažte účast v nepovinném předmětu Matematický proseminář, viz jeho popis ve studijním informačním systému - SIS, MFF UK. Na informatické sekci má podobnou roli nepovinný předmět Matematické dovednosti (viz jeho popis v SIS).

Podrobněji k obsahu kurzu

  1. Rovnice a nerovnice v reálném oboru
    Cílem tohoto tématu je připomenout metody řešení rovnic a nerovnic, a to lineárních a kvadratických, s parametry i bez, s absolutní hodnotou i bez. Důraz bude kladen zejména na geometrickou interpretaci a představivost.

    Bodový scénář:

    • Lineární rovnice s parametrem
    • Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
    • Kvadratická rovnice a nerovnice, i s absolutní hodnotou
    • Grafické řešení rovnic a nerovnic

  2. Analytická geometrie
    Cílem tématu je základní orientace v geometrické interpretaci množin bodů vyhovujících algebraickému vztahu, zejména půjde o tyto objekty: přímka, rovnoběžná přímka, mimoběžné přímky v prostoru, rovina, rovnoběžná rovina, parametrizace přímek a rovin. Dále rozpoznání kuželoseček (kružnice, elipsa, parabola, hyperbola) v základním (neotočeném) postavení v rovině, různé způsoby jejich zápisu, spuštění tečny z vnějšího bodu atd.

    Bodový scénář:
    • Přímka v rovině: rovnice, parametrické vyjádření, směrnicový a úsekový tvar rovnice přímky, vzájemná poloha dvou přímek, vzdálenost bodu od přímky
    • Přímka a rovina v prostoru: parametrické vyjádření, rovnice roviny, roviny rovnoběžné a kolmé, vzájemná poloha přímky a roviny, vzdálenost bodů, přímek, rovin
    • Rovnice kružnice v rovině a její tečny, rovnice kuželosečky v rovině a její tečny

  3. Kombinatorika
    Budou připomenuty metody řešení kombinatorických úloh a zopakovány vzorce pro počet variací, permutací a kombinací. Zmíníme se také o některých vlastnostech kombinačních čísel a binomické větě.

    Bodový scénář:

    • Základní kombinatorická pravidla
    • Variace, permutace a kombinace bez opakování a s opakováním
    • Faktoriály a kombinační čísla, Pascalův trojúhelník
    • Binomická věta

  4. Elementární funkce
    Půjde o připomenutí základních vztahů a získání citu pro náčrt grafů základních elementárních funkcí a funkcí, které jsou od nich jednoduše odvozeny; poroznost bude věnována inverzním funkcím a jejich skládání s původní funkcí.

    Bodový scénář:

    • Mocniny a odmocniny: grafy a elementární pozorování
    • Polynomy - diskuse o řešitelnosti.
    • Jednotková kružnice, sinus, kosinus, tangens, kotangens, grafy, inverzní funkce
    • Exponenciela a logaritmus, grafy, základní vztahy.

  5. Goniometrie
    Opakovací téma má podrobněji připomenout základní vlastností funkcí sinus, kosinus, tangens, kotangens, součtové vzorce, sinovou a kosinovou větu, dále řešení trigonometrických rovnic.

    Bodový scénář:

    • Základní goniometrické funkce a vztahy mezi nimi, součtové vzorce
    • Sinová a kosinová věta, vzorce pro obsah trojúhelníku
    • Trigonometrické rovnice a jejich řešení

  6. Posloupnosti reálných čísel
    Důraz bude kladen na posloupnosti aritmetické a geometrické, vzorce pro n-tý člen, vzorce pro součet, intuitivní odvození vzorce pro součet nekonečné geometrické řady (s pojmem limita bude pracováno intuitivně). Zmínka o explicitním a rekurentním zadání posloupnosti (Fibonacciho posloupnost).

    Bodový scénář:

    • Rekurentně a explicitně zadaná posloupnost
    • Aritmetická posloupnost, vzorec pro součet prvních n členů
    • Geometrická posloupnost, vzorec pro součet prvních n členů
    • Součet (nekonečné) geometrické řady
    • Matematická indukce, základní typy matematických důkazů

  7. Komplexní čísla
    Důraz bude kladen na základní aritmetické dovednosti s komplexními čísly, získání náhledu na geometrickou interpretaci algebraických operací s komplexními čísly, řešení kvadratických rovnic v komplexním oboru a řešení rovnic tvaru xn=a (binomických rovnic).

    Bodový scénář:

    • Motivace, odmocňování záporných čísel, Gaussova rovina, komplexní číslo
    • Operace s komplexními čísly, algebraický a geometrický zápis, absolutní hodnota
    • Moivreův vzorec
    • Kvadratická rovnice a její (komplexní) řešení, řešení binomické rovnice


Jakékoliv dotazy směřujte na M. Rokytu, email: mirko.rokyta (at) matfyz.cuni.cz.

M.Rokyta