Matematická logika

1. Výrok (\(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}}\)) \(\wedge\) \(\mathbf{C}\) je pravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

2. Výrok (\(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}}\)) \(\Rightarrow\) (\(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}}\)) je pravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 0, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

3. Výrok \(\mathrm{(\mathbf{A} \wedge ¬\mathbf{B})}\Leftrightarrow \mathrm{(¬\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\) je nepravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 0

4. Výrok \(\mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\Rightarrow \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})}\):

 Je tautologií.

 Není tautologií.

5. Výrok \([\mathrm{\mathbf{B}}\Leftrightarrow \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}})}] \wedge [\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\vee \mathrm{\mathbf{C}})}\Rightarrow \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{C}})}]\):

 Je tautologií.

 Není tautologií.

6. V kolika řádcích tabulky pravdivostních hodnot vyjde výrok \([\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{C}})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}}] \wedge [\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}})}\Leftrightarrow \mathrm{\mathbf{A}}]\) pravdivý:  

7. Uvažujme implikaci: „Jestliže v Olomouci právě prší, pak v Šumperku právě nefouká vítr.“ Obměněnou implikací je výrok:

 Jestliže v Šuperku právě fouká vítr, pak v Olomouci právě neprší.

 V Šumperku právě fouká vítr, z toho plyne, že v Olomouci právě neprší.

 Jestliže v Šumperku právě nefouká vítr, pak v  v Olomouci právě prší.

 Jestliže v Šumperku právě neprší, pak v  v Olomouci právě nefouká vítr.

8. Negací výroku \([\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}}] \wedge [\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\vee \mathrm{\mathbf{C}})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}]\) je:

 \(\mathrm{[(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}}) \wedge ¬\mathbf{C}]}\vee \mathrm{[(\mathrm{\mathbf{B}}\vee \mathrm{\mathbf{C}}) \wedge ¬\mathbf{A}]}\)

 \(\mathrm{[(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}}) \wedge \mathbf{C}]}\vee \mathrm{[(\mathrm{\mathbf{B}}\vee \mathrm{\mathbf{C}}) \wedge \mathbf{A}]}\)

 \([(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}}) \wedge ¬\mathbf{C}] \wedge [(\mathrm{\mathbf{B}}\vee \mathrm{\mathbf{C}}) \wedge ¬\mathbf{A}]\)

9. Výrok ekvivalentní s výrokem \([\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}] \wedge [(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}) \wedge (\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})]\) je:

 \(\mathbf{A}\)

 \((\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}) \wedge (\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})\)

 \(\mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}\)