Neeuklidovská geometrie - přednáška a cvičení (nejen) pro 4.+5. ročník U, 2017/18. |
Literatura:Václav Hlavatý: Úvod do neeuklidovské geometrie (JČMF 1949)Jan B. Pavlíček: Základy neeuklidovské geometrie Lobačevského (Přírodovědecké vydav. 1953), Digitálně zde. Ján Gatial, Milan Hejný: Stavba Lobačevského planimetrie (ŠMM, Mladá Fronta 1969) Zajímavé odkazy:Začněte třeba na Wikipedii. Stránky D.W.Hendersona s háčkovanými modely hyp. roviny, mírně odlišná verze téhož, a rozhovor s ním a jeho ženou D. Taiminou. Nezapomeňte na M.C.Eschera, kde v galerii najdete klasické obrazy, např. Circle Limit IV. |
Podmínky zápočtu a požadavky ke zkoušce:K zápočtu je třeba připravit si a přednést referát(y) v množství a rozsahu domluveném na místě. |
Archiv minulých let: |
Referáty ZS:1. Ekvivalentní formulace 5. postulátu I (Pavlíček (87-)95-100): Jakub Řada 15.11.2. Ekvivalentní formulace 5. postulátu II (Pavlíček 100-105): Kateřina Hajmová 22.11. 3. Prehistorie neeuklidovské geometrie I (Pavlíček 147-161): Babeta Melčová 6.12. 4. Prehistorie neeuklidovské geometrie II (Pavlíček 161-176): Vendula Píšová 13.12. 5. Objevitelé neeuklidovské geometrie (Pavlíček 177-204(-212)): K.A.Veselá 20.12.(?) Texty k referátům. Referáty LS:(Poincarého polorovinný model, z knížky Gatial, Hejný: Stavba Lobačevského planimetrie)1. Zákl. definice a vlastnosti, konvexita (str.32-35, 50-55): Babeta Melčová 29.3. 2. Míra úhlu I. (55-61): K.A.Veselá 5.4. 3. Míra úhlu II. (62-66): Jakub Řada 12.4. 4. Míra úsečky (66-71): Kateřina Hajmová 19.4. 5. Kružnice v polorovinném modelu. Úhel rovnoběžnosti (72-77): Vendula Píšová 26.4. 6. Sférická trigonometrie (samostatný text): Martina Magová, Jaka Gubanc 3.5. |
Zimní semestr:4.10., 11.10., 18.10., 25.10. Nekoná se -- výukové praxe. 1.11. Úvod - motivace do studia neeukl. geom. Euklidovy axiomy, jiné možné typy geometrií, zejména sférická na sféře. Ekvivalentní vyjádření 5. axiomu. Možné přístupy k neeukl. geometrii: axiomatický / modely / Kleinův jako studium invariantů. Kleinův přístup ke geometrii jako studium invariantů Euklidovská rovina, její pohybová grupa E_2 a skalární součin jako invariant. Afinní rovina, dělící poměr bodů na afinní přímce. Střed úsečky. Dělící poměr. Grupa Af_2 afinních zobrazení a dělící poměr jako její invariant. 8.11. Nekoná se -- děkanský den. 15.11. Referát 1 - Ekvivalentní formulace 5. postulátu I. 22.11. Referát 2 - Ekvivalentní formulace 5. postulátu II. 29.11. Pohybové grupy. euklidovské (E_2), afinní (Af_2) a projektivní (PGL_3) geometrie, jejich dimenze, číselné invarianty (skalární součin / dělící poměr / dvojpoměr). Grupa Af_2 je podgrupou PGL_3. Množinové invarianty, izotropické body, výpočet izotropických bodů jako vlastních vektorů rotačních matic. Komplexní funkce exp a Log. Laguerrův vzorec pro výpočet úhlu přímek ve svazku pomocí dvojpoměru. Klasifikace kvadrik v RP^1. Kleinova idea zadání geometrie volbou invariantní kvadriky. 6.12. Referát 3 - Prehistorie neeuklidovské geometrie I.
13.12. Referát 4 - Prehistorie neeuklidovské geometrie II. 20.12. Výpočtové vzorce pro hyperbolickou míru. Odvození, že abs. body jsou body v nekonečnu. Geometrický význam konstanty k, analytický výpočet hyperbolické vzdálenosti, průběh funkce "hyperbolická vzdálenost od nuly".
3.1. Referát 5 - Objevitelé neeuklidovské geometrie. 10.1. Eliptická přímka: vzorce pro výpočet míry; lokální interpretace eliptické geometrie s konstantou l jako euklidovské geometrie na kružnici o poloměru l. Parabolická přímka. Úprava základního vzorce, definice míry, volba jednotky délky. Úvod do hyperbolické geometrie v rovině (Beltramiho-Kleinův model): absolutní kružnice, hyperbolické měření délek, vzájemné polohy přímek: různoběžky, rovnoběžky, mimoběžky; existence dvou rovnoběžek daným bodem. Letní semestr:22.2. Neeuklid. geometrie v dimenzi 2. Přímkové souřadnice. Hyperbolická rovina -- Beltramiho-Kleinův model. Odvození měření vzdáleností a úhlů. Dvě přímky - klasifikace vzájemných poloh. Kolmost, vyjádření kolmosti v BK modelu, existence společných kolmic. Úhel rovnoběžnosti, vzorec pro závislost velikosti úhlu rovnoběžnosti na délce ramene. 1.3., 8.3., 15.3., 22.3. Nekoná se -- výukové praxe.
29.3. Referát 1 - Zákl. definice a vlastnosti Poincarého polorovinného modelu, konvexita.
5.4. Referát 2 - Míra úhlu I.
12.4. Referát 3 - Míra úhlu II.
19.4. Referát 4 -Míra úsečky. 26.4. Referát 5 - Kružnice v polorovinném modelu. Úhel rovnoběžnosti. 3.5. Referát 6. Sférická trigonometrie. 10.5. Výpočet zbylých dvou druhů pohybu v Lob. rovině: po ekvidistantě (posunutí), horocyklický pohyb. Přehled modelů hyperbolické roviny a promítání mezi nimi. 17.5. Weierstrassovy souřadnice, některé další vzorce v hyp. rovině: analogie Pyth. věty. úhel různoběžek, vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost mimoběžek. Izometrická reprezentace hyperbolické roviny jako sféry o imaginárním poloměru. Trigonometrie, nový důkaz vzorce pro úhel rovnoběžnosti. Vzorec pro obsah trojúhelníka a jeho důsledky že součet úhlů je menší než 2R a že neexistují podobné trojúhelníky. 24.5. |