Neeuklidovská geometrie - přednáška a cvičení (nejen) pro 2. ročník U

Literatura:

Václav Hlavatý: Úvod do neeuklidovské geometrie (JČMF 1949)
Jan B. Pavlíček: Základy neeuklidovské geometrie Lobačevského (Přírodovědecké vydav. 1953)
Ján Gatial, Milan Hejný: Stavba Lobačevského planimetrie (ŠMM, Mladá Fronta 1969)

Zajímavé odkazy:

Začněte třeba na Wikipedii. Stránky D.W.Hendersona s háčkovanými modely hyp. roviny, mírně odlišná verze téhož, a rozhovor s ním a jeho ženou D. Taiminou. Nezapomeňte na M.C.Eschera, kde v galerii najdete klasické obrazy, např. Circle Limit IV.

Další informace:

Z neeuklidovské geometrie je možné zadat bakalářskou práci nebo grafický projekt (týká se zejména studentů Deskriptivní geometrie, ale nejen jich).

Podmínky zápočtu:

V zimním semestru se uděluje pouze zápočet. K zápočtu je třeba připravit si a přednést referát(y) v množství a rozsahu domluveném na místě.

Ke zkoušce:

Požadavky ke zkoušce.

Co o prázdninách? Zážitkový kurz o svobodě a odpovědnosti Vítr ve vlasech 12.-23.8.2013.

Referáty ZS:

1. Ekvivalentní formulace 5. postulátu (Pavlíček (92-)95-105), 23.10., E. Chudáčková, Y. Tolkunova
2. Prehistorie neeuklidovské geometrie (Pavlíček 147-176), 30.10., Z. Javorská, A. Otrubová
3. Objevitelé neeuklidovské geometrie (Pavlíček 177-204(-212)), 6.11., E. Bucharová, I. Pecinová
4. Přehled grup příslušných různým geometriím, jejich dimenze a invarianty, 27.11., N. Pajerová
5. Výpočet invariantů pohybových grup pomocí vlastních vektorů, 4.12., F. Frühbauer
6. základní konstrukce v H_1: přenesení délky, rozpůlení úsečky, 18.12., M. Zounová

Referáty LS:

1. Sférická trigonometrie, 27.2., E. Bucharová, Y. Tolkunova.
(2.--8. Gatial, Hejný: Stavba Lobačevského planimetrie)
2. Zákl. definice a vlastnosti, konvexita (str.32-35, 50-55), 6.3., E. Chudáčková
3. Míra úhlu I. (55-58), 6.3., N. Pajerová
4. Míra úhlu II. (58-62), 13.3., Z. Javorská
5. Míra úhlu III. (62-66), 13.3., A. Otrubová
6. Míra úsečky I. (66-68), 20.3., I. Pecinová
7. Míra úsečky II. (69-72), 27.3., M. Zounová
8. Kružnice (72-77), 3.4., F. Frühbauer

Co jsme probrali:

(Můžete se podívat i na průběh minulého roku.)

Zimní semestr:

2.10. Motivace do studia neeukl. geom. - Euklidovy axiomy, jiné možné typy geometrií. Opakování lineární algebry. Matice, násobení matic a vektorů, determinanty, homomorfismy, maticové grupy (GLnR, OnR, SOnR) a jejich invarianty, lineární formy.
Domácí úkol: 1. Proč není Země placatá? 2. Proč není Země torus? 3. Proč žijeme na vnějším povrchu sféry a ne na vnitřním? 4. Najděte netriviální matici v grupě SOnR.

9.10. Bilineární a kvadratické formy, signatura. Vlastní vektory a vlastní čísla. Afinní prostor, afinní zobrazení, dělící poměr. Projektivní prostor, projektivní rozšíření afinního prostoru, homogenní souřadnice, kolineární zobrazení
Domácí úkol: 1. Najděte vlastní vektory rotační matice A_alfa (aspoň pro alfa=pi/2, když to nepůjde pro obecné). 2. Určete hodnoty dělícího poměru pro permutace tří bodů.

16.10. Přednáška se nekoná z důvodu mých povinností pro fakultu.

23.10. Referát 1. Proj. podprostory, kolineace, dvojpoměr a jeho vlastnosti.
Domácí úkol: 1. Najděte vlastní vektory rotační matice A_alfa. 2. Vyjádřete rovnici kružnice v homogenních souřadnicích.

30.10. Referát 2. Kvadriky v proj. prostoru, polární nadrovina (polára), pól, tečná nadrovina (tečna), bod dotyku. Algebraický výpočet poláry pro daný pól.

6.11. Referát 3. Afinní klasifikace kvadrik v dimenzi 1 a 2: regulární a singulární kvadriky, středové a nestředové, projektivní typ kvadrik.
Domácí úkol: Najděte vyjádření jednodílného hyperboloidu pomocí kvadratické formy.

13.11. Geometrie jako studium invariantů. Popis euklidovské geometrie v rovině pomocí grupy eukl. transformací E_2 (rotace, translace, reflexe a jejich složení, čili shodnosti). Příklady invariantů: délka úsečky, skalární součin, obsah trojúhelníka, kvadrika M, její komplexní verze M^C čili izotropní přímky v bodě X1, jejich směry čili izotropní body, což je speciální případ (komplexní) singulární kvadriky. Základní idea: geometrie na prostoru P může být dána třemi způsoby: 1. měření délek a úhlů, 2. zadání grupy pohybových transformací, 3. zadání grupy tak, že zachovává danou kvadriku. Komplexní funkce exp a Log.
Domácí úkol: Dokažte vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníka pomocí determinantu a ukažte, že je invariantní vůči E_2.

20.11. Dva druhy jednorozměrných útvarů - přímka a svazek přímek. Laguerrův vzorec pro výpočet úhlu přímek ve svazku pomocí dvojpoměru. Zavedení neeukl. geometrie v dimenzi 1 - klasifikace pomocí zadané kvadriky, absolutní elementy. Požadavky kladené na míru dvou elementů: invaiance vůči pohybové grupě a početní vlastnosti. Výpočet dvojpoměru pomocí zadané formy. Zavedení míry pomocí logaritmu z dvojpoměru.

27.11. Referát 4. Hyperbolická přímka. Volba konstanty c a z ní plynoucí vlastnosti hyperbolické přímky: rozdělení na dva díly, neomezenost, nevl. body = abs. body, vzorce pro výpočet míry.

4.12. Referát 5. Geometrický výknam konstanty k, analytický výpočet hyperbolické vzdálenosti.

23.11. Perspektivita a projektivita bodových řad. Eliptická přímka. Volba konstanty c=l (el, ne jedna) a z ní plynoucí vlastnosti: omezenost, celková míra l\pi, vzorce pro výpočet míry; výpočet diferenciálu a lokální interpretace eliptické geometrie s konstantou l jako euklidovské geometrie na kružnici o poloměru l; globální vztah: eliptická přímka vznikne centrální projekcí kružnice.
Odkaz na vizualizaci Pascalovy věty: www.cut-the-knot.org.

18.12. Referát 6. Přenesení a rozpůlení délky na eliptické přímce. Parabolická geometrie - úprava základního vzorce, definice míry, volba jednotky délky.

8.1. Přednáška se nekoná, těším se na viděnou v letním semestru.

Letní semestr:

20.2. Neeuklid. geometrie v dimenzi 2. Přímkové souřadnice. Hyperbolická rovina. Odvození měření vzdáleností a úhlů. Dvě přímky - klasifikace. Kolmice, existence společných kolmic.

27.2. Referát 1. Úhel rovnoběžnosti, závislost velikosti úhlu na délce ramene. Trojúhelníky, čtyřúhelníky - základní poznatky.

6.3. Referát 2, 3.

13.3. Referát 4, 5/1. Kružnice v H2 - 1. definice. Obrazem kružnice je elipsa. Společné dotykové body kružnic ve svazku jsou dotykovými body k absolutní kuželosečce a příslušná přímka je spojující je polárou středu.

20.3. Referát 5/2, 6. Věta o kolmosti tečen na poloměry. Kružnice - obecná definice jako ortogonální trajektorie svazku přímek. Svazky kružnic, tři druhy kružnic: cykly, horocykly, hypercykly.

27.3. Referát 7. Věta: Délky poloměrů vyťaté kružnicemi svazku jsou konstantní (pro cykly, horocykly i hypercykly), zavedení pojmu ekvidistanty.

2.4. Referát 8. Znázornění typů kružnic v polorovinném modelu.

9.4. Explicitní popis pohybové grupy Lobačevského roviny: pohyb po cyklu (otáčení), po ekvidistantě (posunutí), horocyklický pohyb.

16.4. Některé další vzorce v hyp. rovině, odovozené pomocí Weierstrassových souřadnic a úvah o pohybových invariantech: analogie Pyth. věty, úhel různoběžek, vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost mimoběžek. Přehled modelů hyperbolické roviny. Gaussova křivost, Beltramiho pseudosféra.

23.4. Izometrická reprezentace hyperbolické roviny jako sféry o imaginárním poloměru. Trigonometrie, nový důkaz vzorce pro úhel rovnoběžnosti, Lobačevského základní rovnice, obsah trojúhelníka. Délka cyklu, obsah cyklu a možnost "kvadratury kruhu". Eliptická rovina. Parabolické geometrie, Minkowského rovina. Hyperbolický prostor a interpretace euklidovské roviny jako horosféry.

Zpět na hlavní stránku Lukáše Krumpa