Neeuklidovská geometrie - přednáška a cvičení (nejen) pro 2. ročník U

Literatura:

Václav Hlavatý: Úvod do neeuklidovské geometrie (JČMF 1949)
Jan B. Pavlíček: Základy neeuklidovské geometrie Lobačevského (Přírodovědecké vydav. 1953)
Ján Gatial, Milan Hejný: Stavba Lobačevského planimetrie (ŠMM, Mladá Fronta 1969)

Zajímavé odkazy:

Začněte třeba na Wikipedii. Obsažné stránky pana Tadao Ito se spoustou obrázků byly z původní adresy odstraněny, nyní je lze nalézt na webovém archivu, bohužel část obrázků chybí. Stránky D.W.Hendersona s háčkovanými modely hyp. roviny, mírně odlišná verze téhož, a rozhovor s ním a jeho ženou D. Taiminou. Nezapomeňte na M.C.Eschera, kde v galerii najdete klasické obrazy, např. Circle Limit IV.

Další informace:

Z neeuklidovské geometrie je možné zadat bakalářskou práci nebo grafický projekt (týká se zejména studentů Deskriptivní geometrie, ale nejen jich).

Podmínky zápočtu:

V zimním semestru se uděluje pouze zápočet. K zápočtu je třeba připravit si a přednést referát(y) v množství a rozsahu domluveném na místě.

Ke zkoušce:

Zkouška se koná 4.5. v obvyklém čase a místě přednášky. Rád bych vás vyzkoušel všechny, i když samozřejmě můžeme udělat později další termín.

Požadavky ke zkoušce.

Co o prázdninách? Zážitkový kurz Arbor Vitae. "Snový kurz se snovým tématem." 30.6.-9.7.2011.

Referáty ZS:

1. Ekvivalentní formulace 5. postulátu (Pavlíček (92-)95-105), 19.10., T. Dvořáková, R. Matěková
2. Prehistorie neeuklidovské geometrie (Pavlíček 147-176), 26.10.-2.11., E. Hejlová, P. Plichtová
3. Objevitelé neeuklidovské geometrie (Pavlíček 177-204(-212)), 11.11., B. Dodova
4. Přehled grup příslušných různým geometriím, jejich dimenze a invarianty, 7.12., M. Zounová
5. Výpočet invariantů pohybových grup pomocí vlastních vektorů, 7.12., K. Podhajská
6. základní konstrukce v H_1: přenesení délky, rozpůlení úsečky, 14.12., V. Pekař
7. Sférická trigonometrie, 21.12., M. Kukučková, J. Seifrt.
8. Bimetrické, trimetrické a přímkové souřadnice, 4.1., J. Michalik.

Referáty LS:

(1.--7. Gatial, Hejný: Stavba Lobačevského planimetrie)
1. Zákl. definice a vlastnosti, konvexita (str.32-35, 50-55), 2.3., J. Michalik
2. Míra úhlu I. (55-58), 9.3., E. Hejlová
3. Míra úhlu II. (58-62), 9.3., P. Plichtová
4. Míra úhlu III. (62-66), 16.3., K. Podhajská
5. Míra úsečky I. (66-68), 16.3., M. Zounová
6. Míra úsečky II. (69-72), 23.3., T. Dvořáková
7. Kružnice (72-77), 23.3., R. Matěková
8. Modely hyperbolické roviny a vztahy mezi nimi, 13.4., V. Pekař

Co jsme probrali:

Zimní semestr:

5.10. Motivace do studia neeukl. geom. - Euklidovy axiomy, jiné možné typy geometrií. Opakování lineární algebry. Matice, násobení matic a vektorů, determinanty, homomorfismy, lineární, bilineární a kvadratické formy, signatura, afinní prostor, afinní zobrazení, dělící poměr.

12.10. Projektivní prostor, proj. podprostory, projektivní rozšíření afinního prostoru, homogenní souřadnice, kolineární zobrazení, dvojpoměr a jeho vlastnosti. Kvadriky v proj. prostoru, polární nadrovina (polára), pól, tečná nadrovina (tečna), bod dotyku. Afinní klasifikace kvadrik v dimenzi 1 a 2: regulární a singulární kvadriky, středové a nestředové, projektivní typ kvadrik.

19.10. Referát 1 (Ekvivalentní formulace 5. postulátu). Geometrie jako studium invariantů. Popis euklidovské geometrie v rovině pomocí grupy eukl. transformací E_2 (rotace, translace, reflexe a jejich složení, čili shodnosti). Příklady invariantů: délka úsečky, obsah trojúhelníka, kvadrika M, její komplexní verze M^C čili izotropní přímky v bodě X1, jejich směry čili izotropní body, což je speciální případ (komplexní) singulární kvadriky.

26.10. (jen jedna hodina) Referát 2 (Prehistorie neeuklidovské geometrie) - 1. část.

2.11. Referát 2 - 2. část.

9.11. Referát 3. Základní idea: geometrie na prostoru P může být dána třemi způsoby: 1. měření délek a úhlů, 2. zadání grupy pohybových transformací, 3. zadání grupy tak, že zachovává danou kvadriku. Komplexní funkce exp a Log. Laguerrův vzorec pro výpočet úhlu přímek ve svazku pomocí dvojpoměru.

16.11. Geometrie v dimenzi 1. Zavedení neeukl. geom v dimenzi 1 - klasifikace pomocí zadané kvadriky. Zavedení míry pro neeukl. geom. v dimenzi 1, klasifikace geometrií pomocí výrazu D. Hyperbolická geometrie: volba konstanty c a z ní plynoucí vlastnosti hyperbolické přímky: rozdělení na dva díly, neomezenost, nevl. body = abs. body, vzorce pro výpočet míry.

23.11. Analytický výpočet hyperbolické vzdálenosti. Perspektivita a projektivita bodových řad. Eliptická geometrie - volby konstanty c=l (el, ne jedna) a z ní plynoucí vlastnosti: omezenost, celková míra l\pi.
Odkaz na vizualizaci Pascalovy věty: www.cut-the-knot.org.

7.12. Referát 4. Referát 5.

14.12. Referát 6. Eliptická přímka: vzorce pro výpočet míry; výpočet diferenciálu a lokální interpretace eliptické geometrie s konstantou l jako euklidovské geometrie na kružnici o poloměru l; globální vztah: eliptická přímka vznikne centrální projekcí kružnice.

21.12. Referát 7. Parabolická geometrie - úprava základního vzorce, definice míry, volba jednotky délky.

4.1. Referát 8. Neeuklid. geometrie v dimenzi 2. Přímkové souřadnice. Hyperbolická rovina - odvození měření vzdáleností a úhlů. Dvě přímky - klasifikace.

Letní semestr:

23.2. Kolmice, existence společných kolmic. Úhel rovnoběžnosti, závislost velikosti úhlu na délce ramene. Trojúhelníky, čtyřúhelníky - základní poznatky. Kružnice v H2 - 1. definice. Obrazem kružnice je elipsa. Společné dotykové body kružnic ve svazku jsou dotykovými body k absolutní kuželosečce a příslušná přímka je spojující je polárou středu.

2.3. Referát 1. Věta o kolmosti tečen na poloměry. Kružnice - obecná definice jako ortogonální trajektorie svazku přímek. Svazky kružnic, tři druhy kružnic: cykly, horocykly, hypercykly. Délky poloměrů vyťaté kružnicemi svazku jsou konstantní (pro cykly a horocykly).

9.3. Referát 2, 3. Vyťatá délka pro hypercyklus a zavedení pojmu ekvidistanty. Pohyb v hyp. rovině - tři druhy. Popis pohybu po cyklu.

16.3. Referát 4, 5.

23.3. Referát 6, 7. Znázornění typů kružnic v polorovinném modelu.

30.3. (jen jedna hodina) Pohyb po cyklu, ekvidistantě. Přehled modelů hyperbolické roviny.

6.4. Horocyklický pohyb. Pohybové invarianty: analogie Pyth. věty, úhel různoběžek, vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost mimoběžek.

13.4. Referát 8. Izometrická reprezentace hyperbolické roviny jako sféry o imaginárním poloměru.

20.4. Trigonometrie, nový důkaz vzorce pro úhel rovnoběžnosti, Lobačevského základní rovnice, obsah trojúhelníka. Délka oblouku cyklu, ekvidistanty, horocyklu. Obsah cyklu a možnost "kvadratury kruhu". Gaussova křivost, Beltramiho pseudosféra.

27.4. Eliptická rovina. Parabolické geometrie, Minkowského rovina. Hyperbolický prostor a interpretace euklidovské roviny jako horosféry.

Zpět na hlavní stránku Lukáše Krumpa