Konstrukce
Konstrukce hyperboly
Bodová konstrukce
Vyjdeme-li z definice hyperboly, můžeme ji sestrojit bodově (obdobně jako elipsu). Postup je nahrán v apletu H7.1.
Nechť jsou dány dva různé body - ohniska F_1, \, F_2 a délka hlavní poloosy a < \frac {|F_2F_2|} {2}. Střed S úsečky F_1F_2 je středem hyperboly. Na přímku F_1F_2 naneseme od bodu S na obě strany vzdálenost a , tím dostaneme vrcholy A, \, B hledané hyperboly k_h. Na přímce F_1F_2 zvolíme libovolný bod L tak, aby ležel vně úsečky F_1F_2. Nyní sestrojíme kružnice k_1 \, (F_1, \, |LA|), \; k_2 \, (F_2, |LB|) a kružnice k'_1 \, (F_1, \, |LB|), \; k'_2 \, (F_2, |LA|). Body I, \, II, ve kterých se obě kružnice k_1, \, k_2 protínají a body \{III, \, IV \}= k'_1 \cap k'_2 jsou body hyperboly k_h. Platí totiž: ||LA| - |LB|| = 2a. Zvolíme-li bod L = F_1 nebo L = F_2, dostáváme stejným postupem vrcholy A, \, B.
V apletu H7.1 je konstrukce nahraná. Po přehrání můžete měnit polohu bodu L - pohybovat s ním po ose o_1 mimo úsečku F_1F_2, tím získáte další body hyperboly.
Aplet H7.1: Bodová konstrukce hyperboly
Pozn.: Pokud bude hyperbola zadána délkou hlavní a vedlejší poloosy, pak samozřejmě není problém ohniska dohledat (pomocí charakteristického obdélníka) a provést bodovou konstrukci.
Konstrukce hyperboly, jsou-li dány její asymptoty a bod
Občas může nastat situace, kdy známe obě asymptoty u_1, \, u_2 hyperboly k_h a jeden její bod M. Proto zde uvádíme konstrukci, kterak dohledat další body, osy a délky a, \, b (viz aplet H7.2 a aplet H7.3).
Dohledání dalších bodů hyperboly není složité, využijeme-li větu H3.5 z kapitoly Tečny a normály hyperboly. Veďme tedy bodem M libovolnou sečnu s. Podle věty H3.5 stačí úsek vymezený na ní bodem M a jednou asymptotou přenést od druhé asymptoty tak, aby byly oba úseky souměrné podle středu úsečky vymezené na sečně asymptotami (viz aplet H7.2). Koncový bod přeneseného úseku je bod hyperboly. Různou volbou sečny s získáváme různé body hyperboly. (čerpáno z Piska, Medek [10] str. 142 a 143)
V apletu H7.2 je princip konstrukce zobrazen. Změnou polohy sečny s pomocí bodu L získáte další body hyperboly k_h.
Aplet H7.2: Konstrukce bodů hyperboly (věta H3.5)
Osy hledané hyperboly k_h jsou symetrálami úhlů, které svírají obě asymptoty u_1, \, u_2. Chceme-li její osy omezit a získat tak hodnoty a, \, b, veďme bodem M rovnoběžky l_1, l_2 s osami o_1, \, o_2 (l_1 \parallel o_1, \, l_2 \parallel o_2). Přímka l_1 protíná asymptoty u_1, \, u_2 postupně v bodech X_1, \, X_2, přímka l_2 v bodech Y_1, \, Y_2.
Označme O střed úsečky X_1X_2. Sestrojme půlkružnici k_1 se středem v bodě O a poloměrem |OM|. Dále vztyčme kolmici n_1 v bodě X_1 na přímku l_1. Délku hlavní poloosy a představuje vzdálenost bodů X_1 a X_3 = n_1 \cap k_1, tedy a = |X_1X_3|.
Pro získání hodnoty velikosti vedlejší poloosy b opíšeme půlkružnici k_2 nad úsečkou Y_1Y_2. V bodě M vztyčíme kolmici n_2 na úsečku Y_1Y_2. Délku vedlejší poloosy b představuje vzdálenost bodů M a Y_3 = n_2 \cap k_2, tedy b = |MY_3|.
Dohledání délky hlavní a vedlejší osy je nahrané v apletu H7.3, stačí si jej přehrát pomocí tlačítka "Přehrát".
Aplet H7.3: Dohledání velikosti poloos hyperboly
Pozn.: Důkaz platnosti konstrukce, při které se dohledají velikosti poloos, je založen na hyperbolickém řezu rotační kuželové plochy o ose o_1.
Konstrukce hyperboly ohýbáním papíru
Další konstrukcí je získání hyperboly jakožto obalové křivky tečen a to pomocí ohýbání papíru. Pokud známe délku excentricity e a hlavní poloosy a, můžeme ji použít.
Nejlépe na průhledný papír (tzv. "pauzák") narýsujeme kružnici k se středem v libovolně zvoleném bodě F_1 a poloměrem 2a. Druhý bod F_2 zvolíme tak, že platí: |F_1F_2| = 2e (viz. obrázek H7.1 a)). Všimněte si, že bod F_2 leží vně kružnice k, pokud by ležel uvnitř získali bychom elipsu. Nyní budeme ohýbat papír tak, aby ohnutá část kružnice k procházela bodem F_2. Přesně podle obrázku H7.1 b).
Každý ohyb je v podstatě tečnou hyperboly. Dostáváme tedy množinu tečen (viz obrázek H7.1 c), d)), které žádanou hyperbolu obalují. Výsledek je na obrázku H7.2.
Obrázek H7.1: Konstrukce hyperboly ohýbáním papíru
Obrázek H7.2: Výsledná hyperbola
Pozn.: Tato konstrukce má především sloužit jako ověření ohniskových vlastností hyperboly. Konkrétně vychází z věty H3.2 (kapitola Tečny a normály hyperboly) a z věty H4.1 (kapitola Ohniskové vlastnosti hyperboly). Kružnice k představuje řídicí kružnici opsanou z ohniska F_1. Je tedy množinou všech bodů souměrně sdružených s druhým ohniskem F_2 podle tečen hyperboly - ohybů papíru.