Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- Které z uvedených podmínek charakterizují, že jsou dva konečně generované vektorové prostory \(\mathbf{V}\) a \(\mathbf{W}\) nad tělesem \(\mathbb{Z}_p\) isomorfní?
- Správná byla pouze odpověď, že jejich nosné množiny mají stejnou mohutnost. Stačí si uvědomit dvě věci. Za prvé, z mohutnosti nosné množiny se v našem případě pozná dimenze vektorového prostoru. Pokud má \(\mathbf{V}\) dimenzi \(d\), pak \(\mathbf{V}\) je isomorfní aritmetickému vektorovému prostoru \(\mathbb{Z}_p^d\), a tedy nosná množina \(\mathbf{V}\) musí mít \(p^d\) prvků. Za druhé, konečně generované vektorové prostory jsou isomorfní, právě když mají stejnou dimenzi (věta 6.30 na str. 209 skript). Ostatní dvě možnosti nebyly správně. I pokud jsou \(\mathbf{V}\) a \(\mathbf{W}\) podprostory stejného aritmetického vektorového prostoru, nemusí mít stejnou dimenzi, a tedy nemusí být isomorfní. Uvažte například podprostory \(\mathbf{V}=\{0\}\) a \(\mathbf{W}=\mathbb{Z}_p^2\) vektorového prostoru \(\mathbb{Z}_p^2\). Pokud jsou \(\mathbf{V}\) a \(\mathbf{W}\) aritmetické vektorové prostory, také ještě nemusí být isomorfní. Uvažte například \(\mathbf{V}=\mathbb{Z}_p^2\) a \(\mathbf{W}=\mathbb{Z}_p^3\).
- Které z uvedených vlastností má vždy matice automorfismu?
- Musí být čtvercová (víceméně přímo z definice) a regulární podle tvrzení 6.14 na str. 202 skript. V odstupňovaném tvaru naproti tomu být nemusí.
- Jaká je dimenze vektorového prostoru \(\operatorname{Hom}(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^7)\)?
- Podle tvrzení 6.35 na str. 210 skript je to \(7\cdot 3 = 21\).
- Která z uvedených zobrazení jsou lineární formy? Všechny vektorové prostory uvažujte nad tělesem reálných čísel \(\mathbb{R}\).
- Byla uvedena tři zobrazení: \(f\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\) dané předpisem \(f(\mathbf{v})=\lvert\mathbf{v}\rvert\), zobrazení \(g\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}\), které přiřadí komplexnímu číslu \(z\) číslo komplexně sdružené, a zobrazení \(h\colon\mathbb{C}\to\mathbb{R}\), které přiřadí komplexnímu číslu \(z\) jeho reálnou část. Z těchto zobrazení je lineární formou pouze poslední zobrazení \(h\). První zobrazení není vůbec lineární, jak bylo vysvětleno v odpovědích na kvíz č. 10, a druhé zobrazení neodpovídá definici 6.19 na str. 204 (lineární forma nad tělesem \(\mathbb{R}\) musí být zobrazení tvaru \(\mathbf{V}\to\mathbb{R}\)).
Matematické dotazy
- Budeme ke zkoušce potřebovat znát nějakou formální definici pojmu "nosná množina", nebo nám bude stačit nějaká laická představa "množina všech prvků prostoru"?
- To je vlastně definice. Vektorový prostor je formálně podle definice 5.1 trojice \(\mathbf{V}=(V,+,\cdot)\), kde \(V\) je množina a \(+\colon V\times V\to V\) a \(\cdot\colon T\times V\to V\) jsou zobrazení, kterým v tomto kontextu říkáme operace. Množině \(V\) se říká nosná množina (a \(T\) je ve stejném smyslu nosná množina tělesa, nad kterým je náš prostor definován).
Organizační dotazy
- Bylo by možné uvést příklad takovéto úlohy ze zkoušky: "oprava chybného tvrzení s uvedením protipříkladu." Jedná se o jediný typ úlohy, který může být na zkoušce, přičemž na midtermu nebyl.
- Ano, to je pravda, tento typ v midtermu použit nebyl. V otázce bude v tom případě uvedeno (a jako takové označeno) chybné tvrzení. Například tvrzení "Je-li \(G\) konečná množina generátorů vektorového prostoru \(\mathbf{V},\) potom každou konečnou posloupnost \((\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n)\) ve \(\mathbf{V}\) je možné prvky \(G\) doplnit na bázi \(\mathbf{V}\)." Úkolem bude tvrzení opravit, tj. v tomto případě přidat, že posloupnost musí být lineárně nezávislá, a uvést konkrétní příklad, kdy původní tvrzení nemohlo platit (např. pro \(\mathbf{V}=\mathbb{R}^2\), \(G=\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}\) a jednoprvkovou posloupnost \((\mathbf{o})\)).