Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- Jsou-li \(A\), \(B\) dvě matice nad tělesem \(\mathbf{T}\), jejichž součin \(AB\) je definován, a má-li \(A\) hodnost \(5\) a \(B\) hodnost \(3\), která z uvedených tvrzení jistě platí?
- Platilo jen tvrzení, že \(AB\) může mít hodnost \(3\), ale nemůže mít hodnost \(4\). Hodnost součinu matic nemůže být větší než hodnost činitelů podle tvrzení 5.92 na str. 170. Proto v našem případě nemůže být hodnost rovna \(4\). Naproti tomu příklady matic, které splňují podmínky ze zadání a součin má hodnost \(3\), existují (např. si za \(A\) můžeme vzít libovolnou regulární matici řádu \(5\) a za \(B\) matici typu \(5\times3\), která ma ve sloupcích první \(3\) kanonické bázové vektory). Odtud je rovnou také vidět, že nemohlo obecně platit tvrzení "součin \(AB\) má hodnost nejvýše \(2\)". Obecně neplatí ale ani tvrzení, že "součin \(AB\) musí mít hodnost \(3\)". Konkrétním protipříkladem jsou např. tyto matice, jejichž součin má hodnost \(2\): \[ A=\left(\begin{matrix} 1&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1&0\\ \end{matrix}\right), \qquad B=\left(\begin{matrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{matrix}\right). \]
- Čemu z uvedeného je roven součet hodnosti matice \(A\) a dimenze jejího jádra?
- Počtu sloupců matice \(A\) podle věty o dimenzi jádra a obrazu (věta 5.99 na str. 173). Ostatní možnosti ("počtu řádků matice \(A\)", "počtu nebázových sloupců matice \(A\)") pak zjevně obecně neplatí.
- Nechť \(\mathbf{V}\) a \(\mathbf{W}\) jsou dva podprostory konečně generovaného vektorového prostoru \(\mathbf{U}\), přičemž \(\mathbf{U}\) je direktním součtem \(\mathbf{V}\) a \(\mathbf{W}\). Co z uvedeného platí pro dimenze prostorů \(\mathbf{U},\mathbf{V},\mathbf{W}\)?
- Platí, že \(\dim\mathbf{U}=\dim\mathbf{V}+\dim\mathbf{W}\) podle věty o dimenzi součtu a průniku (věta 5.103 na str. 175). Použijeme tady, že z definice direktního součtu je \(\mathbf{V}\cap\mathbf{W}=\{\mathbf{o}\}\) a průnik má tedy nulovou dimenzi. Ostatní dvě tvrzení ("\(\dim\mathbf{U}\) je menší nebo rovna \(\dim\mathbf{V}\) i \(\dim\mathbf{W}\)" a "\(\dim\mathbf{U}=(\dim\mathbf{V})\cdot(\dim\mathbf{W})\)") obecně neplatí.
- Kterými z uvedených způsobů lze vyjádřit aritmetický vektorový prostor \(\mathbb{R}^3\)?
- Lze vyjádřit jako direktní součet vhodně zvolené roviny a přímky (například osy \(z\) a roviny procházející počátkem k ní kolmé) a jako součet čtyř vhodně zvolených přímek (například \(3\) souřadnicových os a jedné další libovolné přímky procházející počátkem). Chyták byl, že se nepožadoval direktní součet ctyř přímek, to by totiž nešlo. Direktní součet ctyř přímek by totiž podle věty o dimenzi součtu a průniku musel mít dimenzi \(4\), což nejde. Naproti tomu nelze \(\mathbb{R}^3\) vyjádřit jako direktní součet dvou vhodně zvolených rovin. Důvodem je opět nesoulad v dimenzích - podle řešení předchozí otázky by takový direktní součet musel mít dimenzi \(2+2=4\), což nejde, protože \(\mathbb{R}^3\) má dimenzi \(3\).
Matematické dotazy
- Aritmetický vektorový prostor \(\mathbb{R}^3\) se dá napsat jako součet vhodně zvolených čtyř přímek. Pokud bychom ale měli direktní součet čtyř přímek, pak by se aritmetický vektorový prostor \(\mathbb{R}^3\) nedal takto zapsat, protože by nebyla splněna podmínka pro prázdný průnik: \(V_i\cap(V_1 +V_2 +· · ·+V_{i−1} +V_{i+1} +V_{i+2} +· · ·+V_{k}) = \{\mathbf{o}\}\) pro libovolné \(i\in\{1, 2, \dots, k\}\). Neboli nějaký vektor \(\mathbf{v}\in V\) by šel zapsat více než jedním způsobem ve tvaru \(\mathbf{v} = \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 + \cdots + \mathbf{v}_k\), kde \(\mathbf{v}_i \in V_i\) pro každé \(i\in\{1, 2, \dots, k\}\). Chápu to správně?
- Ano, přesně tak. Např. aplikací věty o dimenzi součtu a průniku platí, že dimenze direktního součtu je rovna součtu dimenzí sčítanců. Pro součet \(2\) podprostorů je to součást řešení otázky č. 3 a pro direktní součet více podprostorů se to ukáže indukcí.
Organizační dotazy
- Chtěl bych se zeptat, zda jste zvažoval možnost vypsání předtermínu zkoušky.
- Zvažoval, ale finální rozhodnutí je (z časových i organizačních důvodů) předtermín tento semestr nevypsat.
- Je možné (u midtermu) v otázce typu napište definici odevzdat něco ekvivalentní definici?
- Pro účely midtermu a zkoušky pokud možno napište opravdu definici ze skript. V pozdějších přednáškách to bude bez problému.