Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- Kolik prvků musí mít každá lineárně nezávislá posloupnost ve vektorovém prostoru \(\textbf{V}\) dimenze \(n\)?
- Taková posloupnost musí mít nejvýše \(n\) prvků podle pozorování 5.67 na str. 163 ve skriptech. Více než \(n\) prvků mít nemůže a přesně \(n\) prvků mít sice může, ale nemusí (např. libovolná podposloupnost lineárně nezávislé posloupnosti je opět lineárně nezávislá).
- Buď \(W\) rovina v \(\mathbb{R}^3\), která prochází počátkem soustavy souřadnic. Která z uvedených tvrzení o \(W\) platí?
- Platí pouze to, že každá báze prostoru \(W\) obsahuje právě 2 vektory. Určitě nemůže existovat báze prostoru \(W\) tvořená třemi různými vektory. To by musela mít rovina \(W\) z definice dimenzi tři, což nemá (např. protože \(\operatorname{dim}\mathbb{R}^3=3\) a podle tvrzení 5.69 na str. 163 ve skriptech). Rovina \(W\) také nikdy nemůže mít právě jednu bázi, vždy jich existuje nekonečně mnoho. Např. pokud \((\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2)\) je báze \(W\), je pro každou dvojici \(s,t\) nenulových reálných čísel posloupnost \((s\mathbf{w}_1,t\mathbf{w}_2)\) také báze \(W\) (rozmyslete si, co to znamená geometricky).
- Jakou dimenzi má reálný vektorový prostor \(\mathbf{V}\) z příkladu 5.54 na str. 158/159 ve skriptech? Pro úplnost: \(\mathbf{V}\) je tvořen všemi posloupnostmi \((a_0, a_1, a_2, \dots)\) splňujícími \(a_{n+2} = a_n + a_{n+1}\) pro každé nezáporné \(n\).
- Prostor \(V\) je podprostor nekonečně generovaného prostoru \(\mathbb{R}^\omega\) všech reálných posloupností. Sám prostor \(V\) je ale konečně generovaný dimenze dvě. V příkladu ve skriptech je dokonce nalezena konkrétní dvouprvková báze \((\mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2)\). To, že je \(V\) dimenze dvě, se dá ale nahlédnout i bez triku použitého v příkladu. Každá posloupnost \((a_0, a_1, a_2, \dots)\) splňující vztah \(a_{n+2} = a_n + a_{n+1}\) pro každé nezáporné \(n\) je totiž určena prvními dvěma prvky \(a_0\) a \(a_1\). Čili můžeme zvolit libovolnou bázi \(\mathbb{R}^2\), například tu kanonickou, prvky každého bázového vektoru vzít za \(a_0\) a \(a_1\) a dopočítat zbytek posloupnosti. Konkrétně tedy dostaneme posloupnosti \(\mathbf{f}_1 = (1,0,1,1,2,3,5,\dots)\) a \(\mathbf{f}_1 = (0,1,1,2,3,5,8,\dots)\). Potom pro každé \(a,b\in\mathbb{R}\) je \(a\mathbf{f}_1+b\mathbf{f}_2\) ta jediná posloupnost ve \(V\) tvaru \((a,b,\dots)\). Odtud je vidět, že \((\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2)\) je báze \(V\), a tedy \(\operatorname{dim}V=2\).
- Které z uvedených vlastností mají vždy matice přechodu od jedné báze k druhé?
- Musí být čtvercové z definice (konkrétně definice 5.78 na str. 166) a regulární. To druhé plyne např. z pozorování 5.77 na str. 166, je to výslovně zmíněno v příkladu 5.80 na str. 167 a bude to plynout i z tvrzení 6.14 na str. 202/203. Naproti tomu symetrické matice to být nemusí. Např. matice přechodu v příkladech 5.80 ani 5.81 na str. 167 nejsou symetrické.
Matematické dotazy
Nebyly.
Organizační dotazy
- Napadlo mě, že by nám všem u učení pravděpodobně pomohlo, kdyby byl někde seznam všech definic, vět a tvrzení, které máme umět ke zkoušce, (ať už by v tom seznamu byly bez důkazů, nebo s důkazy), bylo by to jednodušší se to potom učit, když by nebylo nutné to hledat ve skriptech, kde jsou také příklady a další výklad, který ale během opakování na zkoušku už znovu číst nepotřebujeme. Ale rozumím, že by to bylo možná příliš organizačně náročné, tak jenom takový podnět.
- Ono se to má tak, že na zkoušku byste měli umět všechny definice, tvrzení a věty i další fakta z textu, který není drobným písmem (s jedinou výjimkou v kap. 6, kterou upřesním). Ten seznam by tedy byl poměrně dlouhý. K lepší orientaci by měly pomoci souhrny na konci kapitol.
- Bolo by možné zverejnit riešenia predchádzajúcich kvízov a zadania úloh?
- Ty jsou zveřejněny už od začátku. Jednak se na ně lze prokliknout z tabulky plánu kurzu na stránce předmětu. Jsou to odkazy O1, O2, ... ve sloupci "Kvíz a odpovědi". Dále jsou tytéž odkazy přidávány po týdnech do materiálů ke studiu v Moodlu.
- Máte v plánu zapisovat do SISu zápočty průběžně, např. po týdnech, jakmile studenti dosáhnou požadovaných 60 bodů, nebo budete zápočty zapisovat jednorázově na konci semestru?
- Zápočty budu zapisovat do SISu průběžně, jak budete dosahovat požadovaných 60 bodů.
- Bude vypsán předtermín zkoušky?
- To z organizačních důvodů neplánuji.