Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- V kterých z uvedených vektrových prostorů je posloupnost \((1,\sqrt{2},\pi)\) je lineárně nezávislá?
- Tato posloupnost je lineárně nezávislá v \(\mathbb{R}\) i v \(\mathbb{C}\) jakožto vektorových prostorech nad tělesem racionálních čísel. Důkaz nebyl požadován, ale pro úplnost je zde naznačen. Dá se k němu dobře použít charakterizace lineární nezávislosti z tvrzení 5.37(2) ve skriptech (str. 151) spolu s povědomím o vlastnostech uvedených čísel. To, že \(\sqrt{2}\) není racionálním násobkem jedničky (tj. že \(\sqrt{2}\) je iracionální číslo) je známo už od starověku. Číslo \(\pi\) je dokonce transcendentní, tj. není kořenem žádného nenulového polynomu s racionálními koeficienty. Naproti tomu každá lineární kombinace čísel \(1\) a \(\sqrt{2}\) s racionálními koeficienty je tzv. algebraické číslo, tj. je kořenem nějakého nenulového polynomu s racionálními koeficienty (dokonce se vždy dá najít takový polynom stupně nejvýše 2). Naopak v \(\mathbb{C}\) jakožto prostoru nad tělesem reálných čísel je posloupnost \((1,\sqrt{2},\pi)\) zcela jistě lineárně závislá, např. \(\sqrt{2}\) je určitě násobek jedničky reálným číslem \(\sqrt{2}\).
- Buď \(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_5\) vektory z \(\mathbb{R}^{531}\) a buď \(A\) reálná matice, jejíž sloupce tvoří vektory \(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_5\). Které z uvedených tvrzení jsou ekvivalentní faktu, že je posloupnost \((\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_5)\) lineárně nezávislá?
- Správná možnost byla jen ta, že matice A má levou inverzi. To je přímočará kombinace tvrzení 5.39 (str. 153) s tvrzením 4.59 (str. 117). Jakožto matice typu \(531\times 5\) nemůže mít \(A\) nikdy pravou inverzi a jádro matice \(A\) je díky typu vždy podprostorem \(\mathbb{R}^5\), tj. určitě není rovné \(\mathbb{R}^{531}\).
- Buď \(A\) matice v odstupňovaném tvaru. Která z uvedených tvrzení jsou ekvivalentní faktu, že posloupnost sloupcových vektorů matice \(A\) je lineárně nezávislá?
- Správná možnost byla jen, že všechny sloupce \(A\) jsou bázové. Pak má soustava \(A\mathbf{x}=\mathbf{o}\) pouze triviální řešení a můžeme opět použít např. tvrzení 5.39. Posloupnost sloupcových vektorů matice v odstupňovaném tvaru může být lineárně nezávislá, i když má matice nulový řádek (neplést s tvrzením 5.43 na str. 155!) Konkrétní taková matice je např. \[\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\0&0\end{matrix}\right)\] Ekvivalentní lineární nezávislosti sloupců není ani to, že matice nemá nulový sloupec. Pokud má matice lineárně nezávislou posloupnost sloupcových vektorů, pak určitě nemůže být žádný sloupec nulový. Naopak to ale neplatí, následující reálná matice je v odstupňovaném tvaru, nemá nulový sloupec, ale přesto je posloupnost jejích sloupcových vektorů lineárně závislá: \[\left(\begin{matrix}1&0&2\\0&1&3\end{matrix}\right)\]
- Která z uvedených tvrzení jsou pravdivá pro každou matici nad tělesem?
- Pravdivá byla všechna tvrzení. Lineární nezávislost řádkových ani sloupcových vektorů matice se nemění ani elementárními řádkovými ani elementárními sloupcovými úpravami. To je obsahem důsledku 5.42 na str. 154.
Matematické dotazy
- Chcel by som sa spýtať k vektorovým priestorom a k telesám. Podľa daných príkladov (vrátane príkladu napísaného v skriptách) môže byť vektorový priestor rovnaký ako teleso alebo keď to napíšem amatérskymi slovami vektorový priestor môže byť obšírnejší ako teleso. Ja by som sa chcel spýtať či to platí aj naopak.
- Nerozumím úplně otázce. Ano, pro libovolné těleso \(\mathbf{T}\) se můžeme na \(\mathbf{T}\) dívat i jako na vektorový prostor nad sebou samým. Tj. položíme \(\mathbf{V}=\mathbf{T}\) a jako operace sčítání vektorů a násobení vektoru prvkem tělesa se vezmou operace sčítání a násobení v tělese samotném. Dále ano, do každého netriviálního vektorového prostoru \(\mathbf{V}\) nad \(\mathbf{T}\) se těleso \(\mathbf{T}\) dá vnořit. Konkrétně pro libovolný nenulový vektor \(\mathbf{v}\in V\) je zobrazení \(f_\mathbf{v}\colon T\to V\) dané předpisem \(f_\mathbf{v}(t)=t\mathbf{v}\) prosté. V tom smyslu je každý netriviální vektorový prostor aspoň tak velký jako těleso. Co je ale myšleno tím "naopak"?
Organizační dotazy
- Chcela by som sa iba opýtať, či budú na webu niekde vzorové riešenia 1. midtermu?
- Vzorová řešení budou předvedena na hromadné konzultaci v pátek 24. 11. od 14:45 v N1 a bude k dispozici záznam.