Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- Které z následujících operací nemusí být definovány na obecném vektorovém prostoru \(\mathbf{V}\) nad tělesem \(\mathbf{T}\)?
- Správná odpověd je "součin vektor krát vektor". O ničem takovém definice 5.1 ve skriptech (str. 139) nemluví. Naproti tomu sčítání vektorů \(+\colon V\times V\to V\) a násobení prvku tělesa a vektoru \(\cdot\colon T\times V\to V\) jsou součástí struktury vektorového prostoru a definovány být musí.
- Kolik netriviálních podprostorů má vektorový prostor \((\mathbb{Z}_2)^2\) nad tělesem \(\mathbb{Z}_2\)?
- Prostor má tři netriviální vektorové podprostory. Všechny jsou dvouprvkové: \(V_1=\{(0,0)^T, (1,0)^T\}\), \(V_2=\{(0,0)^T, (0,1)^T\}\) a \(V_3=\{(0,0)^T, (1,1)^T\}\).
- Kolik prvků obsahuje lineární obal prázdné množiny?
- Lineární obal prázdné množiny (jakožto podmnožiny vektorového prostoru \(\mathbf{V}\) nad nějakým tělesem \(\mathbf{T}\)) obsahuje přesně jeden prvek - nulový vektor. Vizte příklad 5.22 (str. 145). Zde je důležité si uvědomit, že definice 5.20 připouští i lineární kombinaci nulového počtu vektorů, jejíž hodnotou je nulový vektor.
- Buď \(A\) matice nad nějakým tělesem a \(B\) matice, kterou z \(A\) dostaneme posloupností elementárních řádkových úprav. Které z uvedených rovností vždy platí?
- Vždy platí \(\operatorname{Ker}A = \operatorname{Ker}B\) a \(\operatorname{Im}A^T = \operatorname{Im}B^T\), tj. jádra a řádkové prostory matic jsou stejné. To je součástí tvrzení 5.33 na str. 149. Sloupcové prostory naproti tomu být stejné nemusí. Konkrétním příkladem jsou třeba reálné matice \[A=\left(\begin{matrix}1&2\\0&0\end{matrix}\right)\quad\textrm{a}\quad B=\left(\begin{matrix}1&2\\2&4\end{matrix}\right).\]
Matematické dotazy
- Proc by mel linearni obal prazdne mnoziny obsahovat nulovy vektor? Prazdna mnozina neobsahuje ani jediny vektor, proc by linearni kombinace "niceho" mela byt nulovym vektorem?
- To je implicitně obsaženo v definici 5.20 a bylo vysvětleno na přednášce. Připouštíme i lineární kombinaci nulového počtu vektorů, jejíž hodnotou je nulový vektor. Tato konvence je potřeba mj. proto, aby lineární obal každé podmnožiny vektorového prostoru byl sám o sobě vektorový prostor, protože z definice ve vektorovém prostoru nulový vektor být musí.
- V poslední úloze se vyskytovalo Im A - to znamená obraz, nebo násobení matice A zleva jednotkovou maticí?
- Znamenalo to sloupcový prostor \(A\) (= obraz zobrazení \(f_A\)). Druhá interpretace by nedávala (speciálně pro nečtvrecové matice) moc smysl.
- Otázka ,,Kolik netriviálních podprostorů má vektorový prostor \((\mathbb{Z}_2)^2\) nad tělesem \(\mathbb{Z}_2\)?" mi přijde víceznačná v závislosti na způsobu počítání podprostorů. Počítají-li se vzájemně isomorfní podprostory zvlášť, pak má \((\mathbb{Z}_2)^2\) nad tělesem \(\mathbb{Z}_2\) dva triviální podprostory (čtyřprvkový a jednoprvkový) a dále tři isomorfní dvouprvkové podprostory (generované jednotlivě prvky [0,1],[1,0] a[1,1]). Hledíme-li tedy na dva isomorfní, avšak množinově vzato netotožné podprostory jako na jeden a tentýž, byť s násobným výskytem, pak je správně odpověď, že netriviální podprostor je zde právě jeden.
- V otázce nic o počítání až na isomorfismus nebylo (mj. proto, že tam se ani nedostala přednáška). Pokud by to tam bylo, pak by samozřejmě byla tato úvaha správná.
Organizační dotazy
- Mohlo by být prosím v příštím midtermu víc místa na výpočet pod zadáním příkladů vyžadujících postup řešení?
- Pokusíme se rozložení volného místa optimalizovat. Vždy ale zůstává možnost napsat zbylé výpočty na samostatný podepsaný list papíru.