Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- Vyberte tvrzení ekvivalentní tomu, že matice \(A\) je invertovatelná zprava.
- Podle tvrzení 4.56 ve skriptech (str. 113) je invertovatelnost zprava ekvivalentní tomu, že jakákoli soustava lineárních rovnic s maticí \(A\) má alespoň jedno řešení. Dále z tvrzení 4.31 (str. 98) plyne, že pro matici \(X\) takovou, aby součin \(AX\) byl definovaný, platí \(AX=I_m\), právě když \(X^TA^T=I_m^T=I_m\). Tedy matice \(A\) je invertovatelná zprava, právě když transponovaná matice \(A^T\) je invertovatelná zleva. Naopak to, že homogenní soustava rovnic s maticí \(A\) má právě jedno řešení, je podle tvrzení 4.59 (str. 117) ekvivaletní tomu, že matice \(A\) je invertovatelná zleva místo zprava.
- Vyberte tvrzení, která nutně platí, pokud má soustava lineárních rovnic \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) alespoň dvě různá řešení.
- Podle tvrzení 4.59 (str. 117) nemůže být matice invertovatelná zleva ani nemůže být hodnost matice \(A\) rovna počtu sloupců. Naopak to, že matice \(A\) není invertovatelná zprava, z předpokladu nevyplývá. Například soustava daná rozšířenou maticí \((A|\mathbf{b}) = \left(\begin{array}{cc|c}1&0&1\end{array}\right) \) má nad libovolným tělesem alespoň dvě různá řešení \((1,0)^T\) a \((1,1)^T\), ale matice \(A=\left(\begin{array}{cc}1&0\end{array}\right)\) má pravou inverzi \(X=\left(\begin{array}{cc}1\\0\end{array}\right)\).
- Které z uvedených vlastností má vždy čtvercová matice, kterou lze zapsat jako součin elementárních matic?
- Taková matice musí být regulární podle tvrzení 4.77 (str. 123). Naopak ani dolní ani horní trojúhelníková být nemusí. Konkrétně například následující součin reálných elementárních matic řádu 2 není ani dolní ani horní trojúhelníková matice: \[ \left(\begin{array}{cc}2&1\\1&1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right). \]
- Buď \(A\) reálná matice typu \(5\times3\) taková, že zobrazení \(f_A\) dané touto maticí je prosté. Která z uvededých tvrzení potom musí platit?
- Po provedení Gaussovy eliminace bude mít matice všechny tři sloupce bázové, nebo chete-li, pokud se na \(A\) díváme jako na matici homogenní soustavy lineárních rovnic, budou všechny tři proměnné bázové. Zobrazení \(f_{A^T}\colon\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3 \) určené transponovanou maticí \(A^T\) prosté být nemůže. To by totiž matice \(A^T\) musela mít hodnost \(5\) podle tvrzení 4.59 (str. 117), ale hodnost \(A^T\) nemůže být větší než počet řádků \(A^T\), který je roven \(3\) (vizte pozorování 2.18 na str. 55). Nakonec z analogických důvodů nemůže zobrazení \(f_A\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^5 \) být na \(\mathbb{R}^5\), neboli surjektivní. U této otázky byla řada z Vás zmatena terminologií, proto připomínám úvodní odstavec kap. 1.5 skript na str. 28 a definici 1.19(2) na str. 32. U obecného zobrazení \(f\colon X\to Y\) říkáme, že jde o zobrazení z \(X\) do \(Y\). Pokud řekneme, že zobrazení \(f\) je na (myšleno na množinu \(Y\)), pak se tím myslí, že je surjektivní, čili že obrazem \(f\) je celé \(Y\). To je naprosto standardní terminologie, která bude konzistentně používaná i na jiných přednáškách.
Matematické dotazy
- Na přednášce bylo řečeno, že pokud uvažujeme součin nulového prvku z tělesa a nulového prvku z vektorového prostoru, tak bude výsledkem opět nulový vektor. Tvrzení jde poněkud proti intuici, rád bych věděl, z jakého důvodu je definován součin těchto prvků zmíněným způsobem?
- Kromě toho, že to plyne z definice vektorového prostoru, je asi nejnázornější to inlustrovat na aritmetickém vektorovém prostoru, řekněme \(\mathbb{R}^2\). Nulový prvek tělesa je pak prostě \(0\in\mathbb{R}\) a nulový vektor je \(\mathbf{o}=(0,0)^T\). Pak určitě \[ 0\cdot\mathbf{o}=0\cdot\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot0\\0\cdot0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)=\mathbf{o}.\] Můžete si zkusit rozmyslet, co to znamená geometricky v rovině.
Organizační dotazy
- Chcela som sa opytat ci LU rozklad bude na midterme, v ramci kapitoly 4 je sice napisany maly pismom ale v zhrnuti kapitoly (co treba vediet) sa nachadza.
- LU rozklad se zkoušet v midtermech ani u zkoušky nebude.
- Môžeme na midterme, resp. skúške používať vlastné definície alebo sme viazaní na definície zo skript? (za predpokladu, že naše definície sú matematicky korektné)
- Není úplně jasné, co myslíte pojmem "vlastní definice". Lze to interpretovat několika způsoby. Pokud myslíte definice napsané vlastními slovy, pak není problém, pokud budou korektní a mít stejný význam jako ty ze skript. Jiná možnost je, že některé pojmy jsou charakterizovány řadou ekvivalentních vlastností (např. pojem regulární matice ve větě 4.70) a děje se, že je ruzní lidé definují různými z těchto ekvivalentních vlastností. V těchto případech bych prosil se v této přednášce držet definic ze skript, protože na tom dost často závisí smysluplnost otázek (např. úkol dokázat, že regulární matice je invertovatelná, pozbývá smyslu, pokud si regulární matici jako invertovatelnou přímo definujete). V dalším studiu se bude předpokládat, že tyto ekvivalence znáte, a budete moci zpravidla použít kteroukoliv z ekvivalentních podmínek. Nakonec je otázku možné interpretovat i tak, jestli si můžete definici vymyslet úplně po svém. Tam je odpověď jasná: určitě ne. U definice nejde jen o matematickou korektnost, ale také o význam, který se nemůže libovolně měnit.