Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- Která z uvedených tvrzení o maticích a jimi určených zobrazeních platí?
- Platí pouze, že každá reálná matice \(A\) typu \(2\times2\) určuje nějaké zobrazení \(f_A\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) (podle definice 4.35 na str. 103 ve skriptech). Další uvedené tvrzení bylo, že "každé zobrazení \(f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) určené maticí je otočení, zkosení, nebo osová symetrie." To není pravda, zobrazení \(f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) určená maticí mohou být i jiných typů, např. kolmá projekce na přímku (příklad 4.48 na str. 109/110), různé jiné deformace roviny (příklad 4.39 na str. 104) nebo třeba nulové zobrazení (takové, že \(f(\mathbf{x})=\mathbf{o}\) pro každý vektor \(\mathbf{x}\)). Konečně bijektivní zobrazení \(g\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), která nejsou určená maticí, také existují. Jednoduchým příkladem je např. zobrazení dané předpisem \(g(\mathbf{x}) = \mathbf{x}+(1,0)^T\), tedy geometricky posunutí doprava o vektor \((1,0)^T\). To je zjevně bijekce (inverzní zobrazení je opačné posunutí \(g^{-1}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}-(1,0)^T\)). Na druhou stranu \(g\) nemůže být určeno maticí ve smyslu definice 4.35, protože každé zobrazení určené maticí zobrazuje nulový vektor na nulový vektor, zatímco \(g(\mathbf{o})=(1,0)^T\).
- Která z uvedených zobrazení jsou určená maticí?
- Jediné, které nebylo, bylo posunutí. To bylo vysvětleno v předchozí odpovědi. Zobrazení \(f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) zadané předpisem \(f((x,y)^T) = (y,x,x)^T\) je určeno maticí \[ \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix}\right) \] a identické zobrazení na \(\mathbb{R}^3\) je určeno jednotkovou maticí \(I_3\).
- Jsou-li \(g\) a \(h\) zobrazení určená maticemi, je pak složené zobrazení \(gh\) za předpokladu, že existuje, určeno maticí? Kterou z uvedených?
- Složené zobrazení je určené maticí, která je součinem matic zobrazení \(g\) a \(h\), podle tvrzení 4.44 ve skriptech (str. 107).
- Je-li vektor \(\mathbf{u}\) řešením soustavy rovnic \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) a vektor \(\mathbf{w}\) patří do jádra matice \(A\), která z uvedených možností potom vždy nastává?
- V tom případě je součet \(\mathbf{u}+\mathbf{w}\) vždy také řešením soustavy rovnic \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) podle pozorování 4.84 (a definice 4.83) ve na str. 126 skriptech. Ani jedno z ostatních tvrzení, tj. že \(A\mathbf{u}=\mathbf{w}\) nebo že součet \(\mathbf{u}+\mathbf{w}\) také patří do jádra matice \(A\), neplatí. Nalezení konkrétních protipříkladů na tato zbývající tvrzení necháváme jako cvičení.
Matematické dotazy
- Existuje přesná definice zkosení? Moje intuitivní představa připouští jako krajní případ kolmou projekci na přímku, ale konvence je zřejmě jiná. Ve skriptech je (na str. 104) popsáno pouze chování konkrétního příkladu.
- Je pravda, že ve skriptech přesná definice není a samo slovo "zkosení" je spíš popis toho, jak se zobrazení chová, než přesný matematický termín. Všeobecně uznávaná definice zkosení asi není a kolmou projekci na přímku bych jako zkosení určitě nepočítal. Kvízová otázka ale měla jednoznačnou odpověď i tak.
- Počítá se projekce na přímku jako osová symetrie?
- To rozhodně ne.
- Z formulace první otázky mě napadlo, zda rozlišujete mezi formulací "zobrazení z X do Y" a "zobrazení X do Y". Popsat totiž zobrazení maticí jako zobrazení "z R^2 do R^2", když nutně musí zobrazovat celou R^2 by formálně vzato bylo nesprávné, ne?
- Konvenčně se říká "zobrazení \(f\) z \(X\) do \(Y\)". Ano, \(f\) musí někam zobrazovat každý bod \(X\). Předložka "z" je tu prostě v tom smyslu, odkud se body, na které \(f\) aplikujeme, berou. Něčemu, co nezobrazuje všechny body \(X\), tj. je to vlastně zobrazení z nějaké podmnožiny \(X\) do \(Y\), se občas říká "částečné zobrazení z \(X\) do \(Y\)".
- Chtěl bych se zeptat, zda když řekneme např. "Rotace", zda se automaticky bere v potaz i identita (tj. Rotace o 0pí), nebo se implicitně předpokládá nenulový úhel. A jak je tomu u ostatních zobrazení, která mohou takto degenerovat?
- Identita se jako rotace o 0 stupňů typicky bere, není-li formulací výslovně vyloučena. U těch ostatních zobrazení, na které se ptáte, bych se muselo specifikovat, o která jde. Ale myšlenkově je to obdobné jako u té rotace. Např. identické zobrazení se dá chápat i jako posunutí o nulový vektor atp.
- Chápu správně, že kanonická báze je jiný název pro jednotkovou matici?
- Odpověď je, že ne úplně, ale je to blízko. Kanonická báze \(T^n\) je podle definice uspořádaná posloupnost tzv. kanonických bázových vektorů \[( (1,0,0,...)^T, (0,1,0,...)^T, (0,0,1,...)^T, ..., (0,..,0,1)^T). \] Posloupnost sloupcových vektorů není striktně vzato totéž, co matice, ale můžete si je samozřejmě vedle sebe napsat a matici z nich tak vytvořit. Pokud si takto vedle sebe do matice napíšete vektory kanonické báze, dostanete samozřejmě jednotkovou matici.
- Zobrazení dané maticí, které splňuje pozorování 4.80 je nutně "neprosté"? Tedy nikdy se nemůže jednat o regulární matici?
- Tady je potřeba přesně číst. Ve formulaci pozorování se nikde neříká, že \(\mathbf{u}\) a \(\mathbf{w}\) jsou různé vektory. Mohou být a nemusí. Pozorování jen říká, že pro každou dvojici řešení soustavy je rozdíl těch řešení v jádru \(A\).
- Jak poznám, že je zobrazení určené maticí?
- Maticí jsou určená přesně tzv. lineární zobrazení \(f\colon T^n\to T^m\), tj. taková, která splňují \(f(\mathbf{x}+\mathbf{y})=f(\mathbf{x})+f(\mathbf{y})\) a \(f(t\mathbf{x})=tf(\mathbf{x})\) pro každé aritmetické vektory \(\mathbf{x},\mathbf{y}\in T^n\) a prvek \(t\in T\). Na jednu stranu to pro každé zobrazení dané maticí platí podle tvrzení 4.43 na str. 106, na druhou stranu je každé lineární zobrazení určené maticí, která má ve sloupcích vektory \(f(\mathbf{e}_1),f(\mathbf{e}_2),\dots,f(\mathbf{e}_n)\). To nechávám jako cvičení, plyne to poměrně přímo z diskuze na str. 105-107. Zabývat se tím budeme podrobněji (a abstraktněji) v kap. 6.
Organizační dotazy
Nebyly.