Odpovědi, kvíz 3 (LA1)

Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.

Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.

Řešení kvízu

Které z uvedených možností jsou příklady těles ve smyslu kapitoly 3?

Celá čísla s běžnými operacemi těleso netvoří, protože v nich např. neexistuje inverzní prvek k prvku \(2\), tj. není žádné celé číslo \(x\) splňující rovnost \(2\cdot x=1\). Celá čísla s běžnými operacemi tedy nesplňují axiom (N3) z definice těles (definice 3.2 na str. 72). Racionální čísla s běžnými operacemi naproti tomu všechny axiomy splňují a tělesem jsou. Obojí je zmíněno v odstavci těsně před tvrzením 3.3 (str. 73). Trojboký jehlan nemá s kap. 3 ve skriptech nic společného, tělesem ve smyslu kap. 3 určitě není.

V tělese \(\mathbb{Z}_7\) vypočítejte hodnotu součinu \(3\odot4^{-1}\).

Inverzní prvek \(4^{-1}\) k prvku \(4\) tělesa \(\mathbb{Z}_7\) je prvek \(2\). Snadno totiž ověříme, že \(2\odot 4 = 2\cdot4 \;\operatorname{mod}\; 7 = 1\) v \(\mathbb{Z}_7\), a takový prvek existuje v \(\mathbb{Z}_7\) právě jeden podle tvrzení 3.3(4) (str. 73), protože \(\mathbb{Z}_7\) je těleso podle věty 3.11 (str. 78). Jak se hledá inverze modulo prvočíslo obecně je zmíněno v matematických dotazech, pro takto malá tělesa je ale typicky nejrychlejší vyzkoušet hrubou silou, který prvek se s daným prvkem modulo dané prvočíslo vynásobí na jedničku. Ale abychom dokončili příklad: víme, že v \(\mathbb{Z}_7\) platí \(4^{-1} = 2\), a tedy \(3\odot4^{-1} = 3\odot 2 = 6\).

Které z uvedených výroků o maticích speciálních tvarů jsem pravdivé?

Každá diagonální matice je určitě symetrická a každá jednotková matice je permutační. To je jasné přímo z definice 4.8 (str. 79). Naproti tomu permutační matice symetrická být nemusí. Nejjednodušším příkladem je tato permutační matice řádu 3 (nad libovolným tělesem): \[ \left(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right) \]

Čemu z uvedeného je rovna matice \((AB)^T\), tj. matice transponovaná k součinu matic \(AB\)?

Platí \((AB)^T = B^TA^T\), kdykoli má jedna strana smysl (jde o tvrzení 4.31 na str. 98). Ostatním výrazům \((AB)^T\) obecně rovno není. Hledání konkrétních případů, kdy rovnost neplatí nebo nedává smysl, necháváme jako cvičení.

Matematické dotazy

Existuje nějaký obecný způsob (vzorec), jak zjistit inverzní prvek v modulo tělesech?

Ano, ale spíš než vzorec je to postup. Inverzní prvky modulo prvočíslo se dají spočítat pomocí Eukleidova algoritmu pro výpočet největšího společného dělitele dvou přirozených čísel (vizte kap. 1.1 ve skriptech pro druháckou přednášku z abstraktní algebry). Konkrétněji pokud \(a\in\mathbb{Z}_p\) je nenulové, pak zjevně \(\operatorname{NSD}(a,p)=1\). Když se tohoto největšího společného dělitele, kterého už známe, pokusíme spočítat pomocí Eukleidova algoritmu, jako vedlejší produkt výpočtu dostaneme celá čísla \(u,v\in\mathbb{Z}\), taková, že platí tzv. Bézoutova rovnost \( au+pv=\operatorname{NSD}(a,p)=1 \). Nám jde konkrétně o číslo \(b=u\;\operatorname{mod}\;p\), protože z Bézoutovy rovnosti hend plyne, že \(a\odot b=1\) v \(\mathbb{Z}_p\). V příkladu z kvízu např. pro \(a=4\) a \(p=7\) se pomocí algoritmu najdou čísla \(u=-5\) a \(v=3\), pro která platí rovnost \( au+pv = 4\cdot(-5) + 7\cdot 3=1 \), a inverze ke čtyřce modulo 7 je \( (-5) \;\operatorname{mod}\; 7 = 2 \). Toto se podrobněji probírá ve zmíněné druhácké přednášce a je to efektivní algoritmus pro počítač. Pokud byste trvali na vzorci, můžeme se odvolat na tzv. malou Fermatovu větu. Ta říká, že pro každé nenulové \(a\in\mathbb{Z}_p\) platí rovnost \(a^{p-1} \;\operatorname{mod}\; p = 1 \). Tj. \( b = a^{p-2} \;\operatorname{mod}\; p \) je inverze prvku \(a\) v \(\mathbb{Z}_p\) (opět, v příkladu z kvízu máme \( 4^{7-2} \;\operatorname{mod}\; 7 = 1024 \;\operatorname{mod}\; 7 = 2 \)). To je ale typicky méně efektivní postup. Pro malá prvočísla, se kterými budeme počítat, ale často nejrychleji vychází nalezení inverze prohledáním všech prvků \(\mathbb{Z}_p\) hrubou silou.

Mohli bychom se na sudoku (s trochou představivosti) dívat jako na lineární kombinaci jistých devíti permutačních matic?

Ano, to je pravda. Navíc by to ještě musely ty permutační matice splňovat podmínku, že v každém z menších čtvreců 3x3 je právě jedna jednička.

Organizační dotazy

Budou v midtermu hlavně příklady z posledních kapitol?

V prvním midtermu se budou zkoušet kapitoly 2 až 4 včetně důkazů a kapitola 1 bez důkazů. Ve druhém midtermu pak přibude kap. 5. Nebudou se zkoušet části skript psané drobným písmem. V řádu dní se na webu objeví podrobnější instrukce k midtermům obecně, ale starší midtermy pro NMAG111 jsou k nahlédnutí už teď: verze 1 nebo verze 2.

Na stránke predmetu sú v časti ku midtermom len ukážky z druhého midtermu. Bude niekedy existovať aj nejaký príklad z prvého midtermu na stránke?

Není to v plánu, ukázky dávají dostatečnou informaci o struktuře. Jediný rozdíl je, že v 1. midtermu se ještě nezkouší kapitola 5 skript. Bude ale v řádu dní přidána samostatná stránka s podrobnějšími instrukcemi k midtermům.

Budou i v midtermech uplatněny upravení pro studenty se speciálními potřebami jako kupříkladu navýšení času?

Ano, budou. Z organizačních důvodů se mi ale musíte ozvat ca. týden předem a ukázat mi potvrzení od univerzity, na jaké navýšení času máte nárok. Pak se domluvíme na konkrétním provedení, které bude spočívat nejspíše v tom, že začnete test psát dříve.

Bude se u zkoušky více počítat nebo spíše převažují teoretické otázky?

Naší snahou je hlavně u NMAG111 obojí vyvážit, u NMAG113 je větší důraz na počítání. U NMAG111 se pro lepší představu se podívejte na ukázky starších midtermů (verze 1 nebo verze 2). Toto také zodpovídají instrukce ke zkouškám na hlavní stránce předmětu.

Je možné započítat do výsledné známky předmětu výsledek pouze jednoho z midtermů a zkoušky, pokud tato varianta bude nejvýhodnější? (např. dopadne-li jeden midterm se špatným výsledkem a druhý naopak výborně)

Není, systém je už tak dost komplikovaný.

Bude před Vánoci předtermín z Lineární algebry, kdybychom se sami doučili jednu chybějící kapitolu?

Z organizačních důvodů předtermíny nebudou. Chvíli před Vánocemi se navíc píše druhý midterm a po Novém roce jsou ještě 3 přednášky, což je poměrně hodně.

Bylo by možné se na cvičeních zabývat také úkoly stejné obtížnosti jako DÚ? Myslím, že by to mohlo dát lepší představu o tom, co všechno je vlastně požadováno, co rozepsat, na co se v obtížnějších úlohách soustředit.

Dotaz na mě budí dojem, že nejde ani tak o konkrétní úlohy na dané úrovni obtížnosti, ale o to, jak napsat přehledně řešení úlohy. Cvičící byli informování o běžných problémech v DÚ1 a opravující Vám poskytli zpětnou vazbu. Toto je tedy určitě možné a vhodné na cvičeních diskutovat. Pokud jste to v soutěžích nebo korespondenčních seminářích necvičili na střední škole, je to právě jedna z věcí, kterou si máte prostřednictvím DÚ nacvičit. Nejde k tomu ale sepsat užitečný manuál, spíš je potřeba to zkoušet a dostávat zpětnou vazbu. Na Matfyzu jsou vyučovány i předměty, které mají výcvik matematické argumentace přímo jako hlavní cíl, například Matematický proseminář.

Nebylo by možné, aby u výsledků příkladů ze cvičení byly i výsledky těch obtížnějších příkladů na konci?

Až na některé úlohy na konci cvičení č. 2 to tak převážně je. V posledních dnech navíc kolegové nějaká řešení přidali. Pokud Vám jde o konkrétní úlohu, kde výsledek napsat jde (tj. není to úloha typu dokažte to či ono), prosím upřesněte číslo cvičení a úlohy.