Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- Která z uvedených tvrzení o úpravách soustavy lineárních rovnic platí?
- Správná odpověď byla, že elementární úpravy jsou ekvivalentními úpravami. To je obsahem tvrzení 2.10 ve skriptech (str. 47). Na druhou stranu jsou určitě ekvivalentní úpravy, které nejsou na seznamu elementárních úprav podle definice 2.9. Může jít například o kombinace více elementárních úprav najednou (třeba změnu pořadí třech rovnic naráz) nebo o odebrání rovnice se všemi koeficienty nulovými (vizte např. kap. 2.3.3 ve skriptech, str. 51).
- Čemu z uvedeného je rovna hodnost matice A?
- Hodnost matice A obecně není rovna ani počtu nenulových řádků A ani počtu nenulových sloupců matice C v odstupňovaném tvaru, která vznikne z A Gaussovou eliminací. Jednoduchým protipříkladem na obojí je například matice \[ A = \left(\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 6\end{matrix}\right) \] Gaussovou eliminací dostaneme z matice A matici \[ C = \left(\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 0\end{matrix}\right) \] Matice C má jeden nenulový řádek, tedy podle definice 2.17 (str. 55) má matice A hodnost jedna. Naproti tomu A samotná má dva nenulové řádky a C má oba sloupce také nenulové. Správná odpověď na otázku je, že hodnost matice A je rovná počtu jejích bázových sloupců. To sice není přesně definice hodnosti, ale když se zamyslíte nad tím, jak obecně vypadá matice v odstupňovaném tvaru (vizte např. obr. na str. 53 ve skriptech), je celkem jasné, že platí rovnosti: počet nenulových rádků C = počet pivotů v C = počet bázových sloupců A.
- Jak může vypadat řešení soustavy lineárních rovnic popsané rozšířenou maticí s 11 řádky a 7 sloupci?
- Jde nutně o soustavu 11 rovnic o šesti proměnných. Počet volných proměnných nemůže překročit počet všech proměnných, tedy soustava nemůže mít řešení s 11 volnými proměnnými. Soustava sice obecně řešení mít nemusí, ale to neznamená, že ho nemá nikdy. Například soustava daná následující rozšířenou maticí \[ \left(\begin{array}{cccccc|c} 1&0&0&0&0&0&1 \\ 0&1&0&0&0&0&2 \\ 0&0&1&0&0&0&3 \\ 1&1&1&0&0&0&6 \\ 1&1&1&0&0&0&6 \\ 1&1&1&0&0&0&6 \\ 1&1&1&0&0&0&6 \\ 1&1&1&0&0&0&6 \\ 1&1&1&0&0&0&6 \\ 1&1&1&0&0&0&6 \\ 1&1&1&0&0&0&6 \\ \end{array}\right) \] má celkem očividně řešení se třemi volnými proměnnými. Konkrétně množina řešení je \( \{(1,2,3,0,0,0)^T + t_4\,(0,0,0,1,0,0)^T + t_5\,(0,0,0,0,1,0)^T +t_6\,(0,0,0,0,0,1)^T \} \). Správná odpověď tedy je, že soustava lineárních rovnic daná rozšířenou maticí s 11 řádky a 7 sloupci může mít řešení se 3 volnými proměnnými.
- Které z uvedených vektorů jsou lineární kombinací vektorů \((1,0,0)^T\) a \((0,1,0)^T\)?
- Obecná lineární kombinace těchto vektorů je podle definice 2.21 (str. 61) tvaru \(s\,(1,0,0)^T+t\,(1,0,0)^T = (s,t,0)^T\), kde \(s,t\in\mathbb{R}\) jsou koeficienty. Pro konkrétní volby koeficientů dostaneme jako výsledek lineární kombinace vektory \((0,0,0)^T\) (volba \(s=t=0\)) a \((2,1,0)^T\) (volba \(s=2, t=1\)). Naproti tomu vektory \((1,1,1)^T\) a \((3,2,1)^T\) nemůžeme linenární kombinací vektorů \((1,0,0)^T\) a \((0,1,0)^T\) nikdy dostat, protože třetí složka libovolné lineární kombinace těchto vektorů je z výše uvedeného nulová.
Matematické dotazy
- Nebyla by ideální odpověď k otázce č.2: počet nenulových řádků matice v odstupňovaném tvaru, která vznikne z A Gaussovou eliminací?
- Ano, to je rozhodně správná odpověď, je to samozřejmě přímo definice 2.17. Na druhou stranu v matematice je celkem běžné, že se pojmy definují na různých místech různými způsoby, které jsou ekvivalentní. Tak například hodnost bychom stejně dobře mohli definovat jako počet pivotů matice v odstupňovaném tvaru, která vznikne z A Gaussovou eliminací, nebo jako počet bázových sloupců matice A. Je samozřejmě nutné nahlédnout, že jde opravdu o ekvivalentní definice (tj. všechny počty jsou si pro danou matici A rovny). K tomu je potřeba pochopení souvislostí, což měla otázka testovat.
- Mám otázku ke kvízu, k otázce na matici 11x7: napadla mě odpověď "nemusí mít řešení", protože k jednoznačnému určení výsledku (tj. bez použití parametrů/volných proměnných) v podstatě stačí 7 rovnic (o 7 neznámých), takže zbývající 4 rovnice můžou už jenom výsledek "zničit" (tzn. že pro spočítané neznámé by některá ze zbývajících/přebývajících rovnic neplatila). Chtěla bych tedy poprosit o vysvětlení, jestli to říkám špatně, děkuji.
- Úvaha je to správná, soustava s rozšířenou maticí 11x7 opravdu nemusí mít řešení a popsaným způsobem se dají najít příklady takových soustav. Jen zrovna mezi nabízenými možnostmi v kvízu tato konkrétní volba nebyla.
- Na přednášce jsme mluvili o elementárních řádkových úpravách, ve skriptech už jen o elementárních úpravách (ačkoli jimi bylo myšleno to samé). Jsou tedy nějaké sloupcové elementární (nejspíš tedy ne ekvivalentní) úpravy, na které se první otázka ptá, a nebo se tyto pojmy (el. řád. úp. a el. úp.) v kontextu SRL sjednocují?
- Asi by bylo opravdu přesnější mluvit o elementárních úpravách pro soustavy rovnic a elementárních řádkových úpravách pro matice. Pro matice určitě dává smysl mluvit i o elementárních sloupcových úpravách, které se definují analogicky: prohození dvou sloupců matice, vynásobení sloupce matice nenulovým číslem a přičtení násobku sloupce matice k jinému sloupci. Pokud ale daná matice popisuje soustavu lineárních rovnic, elementárními řádkovými úpravami dostáváme ekvivalentní soustavy rovnic, zatímco sloupcovými ne.
- Chtěl jsem se zeptat na pojem volná proměnná a co znamená. Ve skriptech jsem to nenašel.
- Volná proměnná znamená proměnnou, jejíž hodnotu si při řešení dané soustavy můžeme zvolit libovolně. Je to myšleno v tomtéž smyslu jako parametr z kapitoly 2.3.3 ve skriptech.
- Začíná-li matematická věta slovem "Nechť", "Ať", "Buď" apod. smím místo něj použít "Dá-li Bůh"?
- Nedoporučuji, má to jiný význam. Když matematik použije věty uvedené slovy nechť, ať, buď, počítá s tím, že zvolaný předpoklad odteď platí. Prostě se tak pro teď v našem idealizovaném matematickém světě stane. U věty uvedené dá-li Bůh tu jistotu nemáme.
Organizační dotazy
- Jsou součástí midtermů důkazy nebo ty nás čekají až na zkoušce?
- Midterm je příprava na zkoušku, nějaký důkaz testující pochopení probraných kapitol bude i tam.
- Bude midterm pro NMAG113 bude méně obsáhlý než midterm pro NMAG111? Na stránkách je uvedeno, že zkouška je pro NMAG113 kratší, ale není zde nic o midtermech. Mají i midtermy různé obtížnosti podle oboru?
- Z organizačních důvodů bude midterm stejně dlouhý (90 min.) pro všechny obory. Pokus vybrat řešení od studentů finanční matematiky o 15 min. dříve (což by striktně vzato byl poloviční čas) by v přeplněné N1 způsobilo příliš velký chaos. Nicméně i midterm bude pro finanční matematiku trochu jiný, aby odpovídal duchu zkoušky (tj. méně dokazování a vymýšlení a více počítání).
- V průběhu tohoto týdne již byly zveřejněny termíny zkoušek. Je třeba se na ně již zapsat nebo musíme nejdříve počkat na zápočet?
- Po pravdě nevím, co Vám SIS teď dovolí. Ke skládání zkoušky samotné ale zápočet potřeba bude.
- Ráda bych se zeptala, jak to bude fungovat se zápočtový testem, jelikož se píše už před datem odevzdání posledního domácího úkolu. Když se ho bude účastnit člověk, který nakonec díky poslednímu úkolu získá započte z úkolu, ale test se mu nepovede, stále dostane zápočet, nebo když se zapíše na zápočtový test, je jedno, jaké body nakonec bude mít z úkolů a kvízů?
- Rozdíl bude v řádu hodin, poslední úkol se (přesně kvůli uzavření zápočtů před samotnými zkouškami) bude odevzdávat dříve, už do 15. ledna. Zápočet můžete získat buď za úkoly a kvízy, nebo za test. Pokud napíšete test na potřebný počet bodů, nebude se k úkolům a kvízům přihlížet. Může se samozřejmě stát (byť takových případů nebude mnoho), že budete na hranici a budete se rozhodovat, jestli radši odevzdat poslední úkol nebo jít na test. V tom případě můžete udělat obojí. Pokud aspoň v jednom případě uspějete, zápočet dostanete.
- Rád bych se zeptal, jestli je možné u zápočtových písemek a při zkoušce používat tabulky, kalkulačku a podobné pomůcky. Pokud ano, budou nám k něčemu?
- Nebude to povoleno, protože je prakticky nemožné hlídat, jestli používáte např. jednoduchou kalkulačku, internetový prohlížeč nebo chatujete. Na druhou stranu testy budou koncipované tak, aby kalkulačky ani tabulky moc k ničemu nebyly.