Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- Jakým geometrickým útvarem je množina všech bodů (x,y,z) z ℝ3, které splňují rovnici 2*x-y=1?
- Jde o rovinu neprocházející počátkem. V rovnici chybí proměnná z, čili ji můžeme zvolit libovolně (platnost či neplatnost rovnosti pro x a y na ní nezávisí). Proměnnou x také můžeme zvolit libovolně a proměnnou y dopočítáme z rovnice: y = 2*x-1. Z těchto úvah dostaneme parametrický tvar hledané roviny: množina řešení rovnice ze zadání je { (s, 2*s-1, t) : s,t∈ℝ} (zkuste si nakreslit!). Jednoduše vidíme, že počátek souřadnic (0,0,0) v této rovině není, např. z toho, že souřadnice nesplňují rovnici ze zadání.
- Je zobrazení z příkladu 1.14 ve skriptech injektivní nebo surjektivní?
- Jde o zobrazení f: {a, b, c, d} → {1, 2, 3, 4, 5} dané předpisem f(a) = 1, f(b) = 4, f(c) = 3, f(d) = 4 (nenechte se mást obrázkem 1.14 ve skriptech, jde jen o shodu čísel!). Toto zobrazení není injektivní, protože body b i d mají stejný obraz 4. Není ani surjektivní, protože se žádný z prvků a, b, c, d nezobrazí na prvek 5.
- Kdy přesně existuje ke zobrazení f inverzní zobrazení zprava?
- Inverzní zobrazení zprava k zobrazení f existuje, právě když f je na. Jde o tvrzení 1.38 ze skript (str. 36).
- Které z uvedených tvrzení o polynomech platí?
- Platí pouze poslední tvrzení: Ke každému kořenu polynomu s reálnými koeficienty existuje kořen téhož polynomu, který je k původnímu kořenu komplexně sdružený. Jde o větu 1.12 ve skriptech (str. 21). První tvrzení (Každý polynom s komplexními koeficienty má alespoň jeden komplexní kořen) neplatí, protože kořeny mají pouze nekonstantní polynomy. Např. konstantní polynom p(x)=1 žádný kořen nemá. Je to sice detail, ale důležitý, matematika musí být přesná. Ani prostřední tvrzení (Ke každému kořenu polynomu s komplexními koeficienty existuje kořen téhož polynomu, který je k původnímu kořenu komplexně sdružený) neplatí. Protipříkladem je např. polynom q(x) = x-i. Ten má jediný kořen i, ale nemá za kořen komplexně sdružené číslo -i.
Matematické dotazy
- Prosím o vysvětlení tématu .../nerozumím důkazu .../moc jsem ze skript nepochopil/a ...
- Sešlo se několik obecných dotazů tohoto typu. Obraťte se, prosím, s konkrétním dotazem přímo na svého/svoji cvičící nebo na přednášejícího. Je možné domluvit i individuální konzultace. Pokud se to týkalo zobrazení, mělo by to být probráno na druhém cvičení.
- Docela jsem se ztrácel v zobrazování, protože jsem si neukázali nikdy příklad daného zobrazování. Kdyby se to dalo ukazovat na konkrétních příkladech funkcí tak by to bylo přehlednější a pochopitelnější. (Doufám že jsem pochopil správně, že zobrazování se používá hlavně ve funkcích)
- Zobrazení je v podstatě synonymum slova funkce. Kdy se co užívá, je spíš věcí tradice. Fuknce často znamená zobrazení, která vede do nějakého oboru čísel místo do obecné množiny. Na příklady zobrazení se, prosím, podívejte do skript do kap. 1.5.1.
- Chtěl bych se zeptat proč se "obor hodnot" značí Im.
- Je to zkratka z anglického termínu "image".
- Dobrý den, můžu mít dotaz, co je konstantní/nekonstantní polynom? Děkuji mockrát
- Nekonstantní polynom znamená polynom stupně alespoň 1, tj. takový, který má nenulový koeficient u xn pro nějaké n≥1. Konstantní polynom je naopak polynom stupně nula, tj. takový, který sestává pouze z absolutního členu (tady se počítá i nulový polynom, který má všechny koeficienty nulové).
- Mám dotaz k domácímu úkolu č. 1. Pokud se nemýlím, f: ℝ2 → ℝ2 znamená, že vstupem že i výstupem zobrazení je vždy dvojice reálných čísel. Aby bylo zobrazení na, musí ta výsledná dvojice být jakoukoli možnou kombinací dvou reálných čísel v závislosti na proměnných x, y nebo musí být pokryta všechna reálná čísla 'zároveň'? Musí být tato dvě čísla stejná, nebo se mají lišit?
- Stačí si v tomto případě správně vyložit definici 1.19(2) ve skriptech (str. 32). Zobrazení f: ℝ2 → ℝ2 je na, pokud pro každý prvek ℝ2, tj. pro každou uspořádanou dvojici reálných čísel (s,t), existuje uspořádaná dvojice reálných čísel (x,y) taková, že f(x,y)=(s,t). Pro úplnost podotýkám, že zápis f(x,y) je jen běžná zkratka za f( (x,y) ), tj. obraz při f prvku (x,y) z definičního oboru ℝ2.
Organizační dotazy
- Bude se u zkousky pozadovat ovladani dukazu tvrzeni ve skriptech? Predpokladam ze dukazy ke klicovym pojmum ano ale napriklad mensi vety ze skript apod.
- Bude se požadovat pochopení pojmů a důkazů z celé probírané látky, pokud jsou ve skriptech uvedeny a pokud nebude v konkrétním případě výslovně řečeno jinak. Důkazy se budou zkoušet ve drobných obměnách nebo speciálních případech tvrzení z přednášky, tedy ne doslovně.
- Jsou předmětem zkoušky také konkrétní početní příklady, nebo převažuje teorie, definice a důkazy?
- Bude se zkoušet obojí.
- Je povoleno u midtermů/zkoušky používat kalkulačku, tabulky apod.?
- Není a zároveň by to nemělo být potřeba.
- Budeme dostávat nějaké bonusové body ke zkoušce za dosažení více bodů za domácí úkoly? (např. hranice 70/80/90 bodů)
- Ne, domácí úkoly se počítají pouze k zápočtu, ne ke zkoušce. U zkoušky tuto roli určitým způsobem plní midtermy.
- Když odevzdám kvíz dvakrát, jelikož jsem si v něm našel chybu, co z toho se počítá?
- Počítá se vždy poslední verze, kterou odešlete.