Teorie reprezentací konečně dimenzionálních algeber (NMAG442) - informace o přednášce v letním semestru 2023/2024.

Aktuálně: Přednáška ve čtvrtek 16. 5. odpadá!

Základní informace

Cílem přednášky je podat úvod do teorie reprezentací konečně dimenzionálních algeber nad tělesem. To na jedné straně umožní získat vhled do některých náročnějších problémů z lineární algebry, ale na druhé straně naopak i umožní použít základní lineární algebru k pochopení konkrétních příkladů abstraktních pojmů z teorie modulů. Základní informace o kurzu jsou k nalezení též v SISu.

Rozvrh (také k nalezení v SISu):

  • pondělí 10:40-12:10 hod. v učebně K5,
  • čtvrtek 10:40-12:10 hod. v učebně K4.

První dvě třetiny přednášky z učebnice [ASS] přednese J. Trlifaj, poslední třetinu ze článku [Kra] přednese J. Šťovíček. Jednou za dva týdny se ve čtvrtek bude konat cvičení (cvičící K. Fuková).

Zkouška

Zkouška bude ústní a domlouvá se individuálně s přednášejícím J. Šťovíčkem. Bude se zkoušet látka pokrytá prvními třemi kapitolami učebnice [ASS] a sekcemi 3 až 5 v článku [Kra].

Zápočet

Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené úkoly. Půjde o tři sady problémů, které budou spolu s termíny vypisovány zde a jejichž řešení se budou odevzdávat cvičící nebo zasílat e-mailem J. Šťovíčkovi. K zápočtu bude požadováno alespoň 65 % bodů z vyřešených problémů.

1. sada domácích úkolů (termín: 8. 4.)

Vyřešte následující cvičení z [ASS], kap. II.4 (str. 65-68):

  • cvičení 11 (předpokládejte, že těleso je algebraicky uzavřené),
  • cvičení 13,
  • cvičení 14,
  • cvičení 17, část (b).

2. sada domácích úkolů (termín: 6. 5.)

Vyřešte 4 z následujících cvičení z [ASS], kap. III.4 (str. 93-96) dle vlastního výběru:

  • cvičení 4, části (a), (c), (g),
  • cvičení 6,
  • cvičení 8,
  • cvičení 10,
  • variace na cvičení 10: vezměte algebru cest se stejným toulcem Q, ale změňte ideál na I = ⟨βα⟩. Jaká bude globální dimenze algebry A = KQ/I v tomto případě?
  • cvičení 15.

3. sada domácích úkolů (termín: ke zkoušce)

  • cvičení 11 z [ASS], kap. VII.6 na str. 299,
  • u předchozího příkladu si zvolte orientaci Dynkinova diagramu D4 a pro každý kladný kořen najděte nerozložitelnou reprezentaci s takovým dimenzním vektorem.

Program kurzu

Zde bude průběžně doplňován stručný záznam o tom, co bylo probráno.

DatumProbraná látkaZdroje
19. 2.Plán přednášky a přehled probíraných témat. Algebry cest toulců, souvislé toulce a algebry, primitivní idempotenty.[ASS], kap. II.1
22. 2.Homomorfismy z algeber cest, šipkový ideál, radikál a primitivní idempotenty pro algebry cest.[ASS], kap. II.1
26. 2.Realizace algeber cest jako algeber dolních trojúhelníkových matic. Základní vlastnosti algeber cest modulo přípustný (angl. admissible) ideál.[ASS], kap. II.1 a II.2
29. 2.Cvičení: Algebry cest a jejich reprezentace pomocí matic. Přípustné ideály, idempotenty, radikál.
4. 3. Radikál a primitivní idempotenty algeber tvaru KQ/I pro přípustný ideál I. Toulec obecné konečně dimenzionální algebry.[ASS], kap. II.2 a II.3
7. 3. Příprava na důkaz Gabrielovy strukturní věty, že každá základní konečně dimenzionální algebra nad algebraicky uzavřeným tělesem je tvaru KQA/I, kde I je nějaký přípustný ideál.[ASS], kap. II.3
11. 3. Zvedání idempotentů modulo radikál. Wedderburnova-Malcevova věta. Důkaz Gabrielovy strukturní věty.[ASS], kap. I.1, I.4 a II.3
14. 3. Cvičení: Hledání toulce konečně dimenzionální algebry. Pro která čísla algebra n je K[x]/(xn) totálně rozložitelná?
18. 3. Reprezentace toulce vázané ideálem. Některé základní pojmy k aditivním a K-lineárním kategoriím a funktorům. Formulace ekvivalence mezi kategoriemi modulů a reprezentací.[ASS], kap. A.1, A.2 a III.1
21. 3. Dokončení důkazu ekvivalence mezi kategoriemi modulů nad algebrou cest modulo ideál a reprezentací toulce vázaných tím ideálem. Popis jednoduchých a totálně rozložitelných reprezentací a určení soklu, radikálu a topu reprezentace.[ASS], kap. III.1 a III.2
25. 3. Adjunkce funktorů Hom a tenzorového součinu. Nerozložitelné projektivní reprezentace.[ASS], kap. I.2 a III.2
28. 3. Cvičení: Endomorfismy a direktní rozklady reprezentací, jednoduché a projektivní reprezentace.
4. 4. Nerozložitelné injektivní reprezentace. Nakayamův funktor a jeho vlastnosti. Funktor Ext a rozšíření jednoduchých modulů.[ASS], kap. III.2
8. 4. Rozšíření jednoduchých modulů – dokončení. Dimenzní vektory a Grothendieckova grupa kategorie modulů.[ASS], kap. III.3
11. 4. Cvičení: Projektivní a injektivní reprezentace, sokly a radikály reprezentací.
15. 4.Cartanova matice. Eulerova charakteristika a Eulerova kvadratická forma a jejich homologická interpretace. Coxeterova transformace.[ASS], kap. III.3
18. 4.Cartanova matice a Eulerova charakteristika specializované na algebry typu KQ, kde Q je konečný acyklický toulec. Přípustné uspořádání vrcholů Q.[ASS], kap. III.3
[Kra], kap. 3.1
22. 4.Bilineární a kvadratické formy dané toulcem, reflexe, reflexní funktory (definice a příklady)[Kra], kap. 3.2 a 3.3
25. 4. Cvičení: Cartanova matice, Eulerova forma, reflexní funktory.
29. 4.Vlastnosti reflexních funktorů. Coxeterovy funktory (definice a příklady).[Kra], kap. 3.3 a 3.4
6. 5.Vlastnosti Coxeterových funktorů. Preprojektivní, preinjektivní a regulární reprezentace.[Kra], kap. 3.4 a 3.5
9. 5. Cvičení: Coxeterovy funktory.
13. 5.Dynkinovy a eukleidovské diagramy a jejich charakterizace pomocí pozitivní (semidefinitnosti) jejich kvadratické formy. Definice kořenů.[Kra], kap. 4.1 – 4.3
20. 5.Kořeny a jejich vlastnosti. Coxeterova transformace přes reflexe, její vlastnosti.[Kra], kap. 4.3, 4.4
23. 5.Charakterizace konečného reprezentačního typu a klasifikace reprezentací pro toulce Dynkinova typu. Něco o reprezentacích v eukleidovském typu (defekt reprezentace, preprojektivní a preinjektivní reprezentace, příklady regulárních reprezentací).[Kra], kap. 5

Literatura

Přednášená látka je převážně pokryta v následujících zdrojích:

[ASS] I. Assem, D. Simson, A. Skowroński, Elements of the representation theory of associative algebras, Vol. 1, Cambridge University Press, 2006.
[Kra] H. Krause, Representations of quivers via reflection functors, arXiv:0804.1428. [Článek v PDF]

Kurz sestává z prvních třech kapitol [ASS] a sekcí 3 až 5 v článku [Kra].

V poslední době se objevila řada dalších monografií, které se zabývají teorií reprezentací konečně dimenzionálních algeber z různých pohledů. Zde jsou některé klasičtější zdroje, která jsou sice z pohledu přednášky pouze doplňkové, ale stojí zato je zmínit:

[ARS] M. Auslander, I. Reiten, S. Smalø, Representation theory of Artin algebras, Cambridge University Press, 1997.
[Ben] D. J. Benson, Representations and cohomology I, Basic representation theory of finite groups and associative algebras, Second edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

Základní fakta o modulech nad obecnými okruhy jsou též k nalezení v monografii

[AF] F. W. Anderson, K. R. Fuller, Rings and categories of modules, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1992.