Teorie reprezentací konečně dimenzionálních algeber (NMAG442) - informace o přednášce v letním semestru 2023/2024.

Základní informace

Cílem přednášky je podat úvod do teorie reprezentací konečně dimenzionálních algeber nad tělesem. To na jedné straně umožní získat vhled do některých náročnějších problémů z lineární algebry, ale na druhé straně naopak i umožní použít základní lineární algebru k pochopení konkrétních příkladů abstraktních pojmů z teorie modulů. Základní informace o kurzu jsou k nalezení též v SISu.

Rozvrh (také k nalezení v SISu):

  • pondělí 10:40-12:10 hod. v učebně K5,
  • čtvrtek 10:40-12:10 hod. v učebně K4.

První dvě třetiny přednášky z učebnice [ASS] přednese J. Trlifaj, poslední třetinu ze článku [Kra] přednese J. Šťovíček. Jednou za dva týdny se ve čtvrtek bude konat cvičení (cvičící K. Fuková).

Zkouška

Zkouška bude ústní a domlouvá se individuálně s přednášejícím J. Šťovíčkem. Bude se zkoušet látka pokrytá prvními třemi kapitolami učebnice [ASS] a sekcemi 3 až 5 v článku [Kra].

Zápočet

Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené úkoly. Půjde o tři sady problémů, které budou spolu s termíny vypisovány zde a jejichž řešení se budou odevzdávat cvičící nebo zasílat e-mailem J. Šťovíčkovi. K zápočtu bude požadováno alespoň 65 % bodů z vyřešených problémů.

1. sada domácích úkolů (termín: 8. 4.)

Vyřešte následující cvičení z [ASS], kap. II.4 (str. 65-68):

  • cvičení 11 (předpokládejte, že těleso je algebraicky uzavřené),
  • cvičení 13,
  • cvičení 14,
  • cvičení 17, část (b).

2. sada domácích úkolů (termín: 6. 5.)

Vyřešte 4 z následujících cvičení z [ASS], kap. III.4 (str. 93-96) dle vlastního výběru:

  • cvičení 4, části (a), (c), (g),
  • cvičení 6,
  • cvičení 8,
  • cvičení 10,
  • variace na cvičení 10: vezměte algebru cest se stejným toulcem Q, ale změňte ideál na I = ⟨βα⟩. Jaká bude globální dimenze algebry A = KQ/I v tomto případě?
  • cvičení 15.

Program kurzu

Zde bude průběžně doplňován stručný záznam o tom, co bylo probráno.

DatumProbraná látkaZdroje
19. 2.Plán přednášky a přehled probíraných témat. Algebry cest toulců, souvislé toulce a algebry, primitivní idempotenty.[ASS], kap. II.1
22. 2.Homomorfismy z algeber cest, šipkový ideál, radikál a primitivní idempotenty pro algebry cest.[ASS], kap. II.1
26. 2.Realizace algeber cest jako algeber dolních trojúhelníkových matic. Základní vlastnosti algeber cest modulo přípustný (angl. admissible) ideál.[ASS], kap. II.1 a II.2
29. 2.Cvičení: Algebry cest a jejich reprezentace pomocí matic. Přípustné ideály, idempotenty, radikál.
4. 3. Radikál a primitivní idempotenty algeber tvaru KQ/I pro přípustný ideál I. Toulec obecné konečně dimenzionální algebry.[ASS], kap. II.2 a II.3
7. 3. Příprava na důkaz Gabrielovy strukturní věty, že každá základní konečně dimenzionální algebra nad algebraicky uzavřeným tělesem je tvaru KQA/I, kde I je nějaký přípustný ideál.[ASS], kap. II.3
11. 3. Zvedání idempotentů modulo radikál. Wedderburnova-Malcevova věta. Důkaz Gabrielovy strukturní věty.[ASS], kap. I.1, I.4 a II.3
14. 3. Cvičení: Hledání toulce konečně dimenzionální algebry. Pro která čísla algebra n je K[x]/(xn) totálně rozložitelná?
18. 3. Reprezentace toulce vázané ideálem. Některé základní pojmy k aditivním a K-lineárním kategoriím a funktorům. Formulace ekvivalence mezi kategoriemi modulů a reprezentací.[ASS], kap. A.1, A.2 a III.1
21. 3. Dokončení důkazu ekvivalence mezi kategoriemi modulů nad algebrou cest modulo ideál a reprezentací toulce vázaných tím ideálem. Popis jednoduchých a totálně rozložitelných reprezentací a určení soklu, radikálu a topu reprezentace.[ASS], kap. III.1 a III.2
25. 3. Adjunkce funktorů Hom a tenzorového součinu. Nerozložitelné projektivní reprezentace.[ASS], kap. I.2 a III.2
28. 3. Cvičení: Endomorfismy a direktní rozklady reprezentací, jednoduché a projektivní reprezentace.
4. 4. Nerozložitelné injektivní reprezentace. Nakayamův funktor a jeho vlastnosti. Funktor Ext a rozšíření jednoduchých modulů.[ASS], kap. III.2
8. 4. Rozšíření jednoduchých modulů – dokončení. Dimenzní vektory a Grothendieckova grupa kategorie modulů.[ASS], kap. III.3
11. 4. Cvičení: Projektivní a injektivní reprezentace, sokly a radikály reprezentací.
15. 4.Cartanova matice. Eulerova charakteristika a Eulerova kvadratická forma a jejich homologická interpretace. Coxeterova transformace.[ASS], kap. III.3
18. 4.Cartanova matice a Eulerova charakteristika specializované na algebry typu KQ, kde Q je konečný acyklický toulec. Přípustné uspořádání vrcholů Q.[ASS], kap. III.3
[Kra], kap. 3.1
22. 4.Bilineární a kvadratické formy dané toulcem, reflexe, reflexní funktory (definice a příklady)[Kra], kap. 3.2 a 3.3

Literatura

Přednášená látka je převážně pokryta v následujících zdrojích:

[ASS] I. Assem, D. Simson, A. Skowroński, Elements of the representation theory of associative algebras, Vol. 1, Cambridge University Press, 2006.
[Kra] H. Krause, Representations of quivers via reflection functors, arXiv:0804.1428. [Článek v PDF]

Kurz sestává z prvních třech kapitol [ASS] a sekcí 3 až 5 v článku [Kra].

V poslední době se objevila řada dalších monografií, které se zabývají teorií reprezentací konečně dimenzionálních algeber z různých pohledů. Zde jsou některé klasičtější zdroje, která jsou sice z pohledu přednášky pouze doplňkové, ale stojí zato je zmínit:

[ARS] M. Auslander, I. Reiten, S. Smalø, Representation theory of Artin algebras, Cambridge University Press, 1997.
[Ben] D. J. Benson, Representations and cohomology I, Basic representation theory of finite groups and associative algebras, Second edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

Základní fakta o modulech nad obecnými okruhy jsou též k nalezení v monografii

[AF] F. W. Anderson, K. R. Fuller, Rings and categories of modules, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1992.