Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- Ať \(A\) je komplexní čtvercová matice řádu \(3\), která má vlastní číslo \(2-i\) a jeden z příslušných vlastních vektorů je \((i, 1+2i, 3)^T\). Co z uvedeného nutně platí o hermitovsky sdružené matici \(A^*\)?
- Číslo \(2+i\) je podle tvrzení 10.6 na str. 377 vlastním číslem matice \(A^*\), ale vektor \((-i, 1-2i, 3)^T\) nemusí být vlastní vektor matice \(A^*\) příslušný vlastnímu číslu \(2+i\). Příkladem na druhou část budiž matice \[ A = \left(\begin{array}{ccc} 1 - 3i & i & 0 \\ -1 - 7i & 1 + 2i & 0 \\ -9 - 3i & 3 & 0 \end{array}\right), \] pro kterou má \(A^*\) podprostor vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu \(2+i\) rovný \(\operatorname{LO}\{(-3 + i, 1, 0)^T\}\).
- Buď \(A\) reálná čtvercová normální matice řádu 5. Která z uvedených tvrzení pro každou takovou matici platí?
- Určitě podle spektrální věty 10.13 na str. 379 existuje ortogonální báze \(B\) prostoru \(\mathbb{C}^5\) taková, že matice operátoru \(f_A\) vzhledem k \(B\) je diagonální. Matice \(A\) má také aspoň jedno reálné vlastní číslo podle důsledku 9.52 na str. 322. Naproti tomu nemusí existovat ortogonální báze \(B\) prostoru \(\mathbb{R}^5\) taková, že matice operátoru \(f_A\) vzhledem k \(B\) je diagonální. To platí jen pro symetrické matice podle důsledku 10.16 (vizte též příklad 10.14 na str. 381).
- Ať \(A\) je komplexní čtvercová matice s vlastním číslem \(1-i\). Které z uvedených vlastností může \(A\) mít?
- Matice \(A\) může být normální (např. libovolná diagonální matice s číslem \(1-i\) na diagonále toto splňuje). Naproti tomu \(A\) nemůže být hermitovská ani pozitivně definitní, protože \(1-i\) není reálné číslo (věta 10.15 na str. 381). Nemůže být ani unitární, protože \(|1-i|=\sqrt{2}\ne 1\) (věta 10.23 na str. 384/385).
- Buď \(f_A\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) rotace v \(\mathbb{R}^3\) kolem nějaké osy \(p\) procházející počátkem o úhel \(17\) stupňů a \(A\) reálná matice, kterou je tento operátor zadaný. Které z uvedených vlastností matice \(A\) má?
- Předně je třeba si uvědomit, že \(f_A\) je ortogonální operátor na \(\mathbb{R}^3\), a tudíž je matice \(A\) ortogonální. Speciálně pokud \(A\) uvažujeme jako komplexní matici, je unitární, tedy i normální a unitárně diagonalizovatelná. Odtud plyne, že \(A\) má dva navzájem kolmé nenulové komplexní vlastní vektory (např. z věty 10.4 na str. 376). Naproti tomu z geometrického náhledu je jasné, že \(A\) má jediné reálné vlastní číslo \(1\) a vlastní vektory jemu příslušné tvoří přesně osu rotace \(p\). Speciálně \(A\) nemůže mít dva navzájem kolmé nenulové reálné vlastní vektory a ani být ortogonálně diagonalizovatelná (např. opět podle věty 10.4 na str. 376).
Matematické dotazy
Nebyly.
Organizační dotazy
Nebyly.