Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- Označme \(A\) reálnou Jordanovu buňku řádu \(4\) příslušnou číslu \(3\). Jaké číslo má šestá mocnina matice A na místě (1,4) (tj. v prvním řádku a čtvrtém sloupci)?
- Podle tvrzení 9.86 na str. 342 je to \({6\choose3}\cdot3^{6-4+1} = 540\).
- Uvažujte operátor \(f\) na \(\mathbb{R}^7\), pro který existuje báze, která je spojením následujících Jordanových řetízků: řetízku délky \(1\) příslušného vlastnímu číslu \(2\), řetízku délky \(3\) příslušného vlastnímu číslu \(2\) a řetízku délky \(3\) příslušného vlastnímu číslu \(1\). Jaká je dimenze jádra operátoru \((f - 2\mathrm{id})^2\)?
- Podle Tvrzení 9.96(3) tvoří celý první řetízek a první dva vektory druhého řetízku bázi dotčeného jádra. Dimenze je tedy rovna \(3\).
- Buď \(A\) reálná matice taková, že \(f_A\) je rotace v \(\mathbb{R}^3\) o \(90\) stupňů podle nějaké pevně zvolené osy \(p\). Budeme uvažovat \(A\) jako komplexní matici a pro odpovídající operátor na \(\mathbb{C}^3\) sledovat důkaz existence Jordanova tvaru (implikace (2)\(\Rightarrow\)(1) ve větě 9.97) v kapitole 9.4.11. Za \(\Lambda\) zvolíme číslo \(1\). Pro který z uvedených podprostorů použijeme indukční předpoklad?
- V prvním kroku použijeme indukční předpoklad pro prostor \(\operatorname{Im} g\), kde \(g = f- \mathrm{id}\). Zbývá porovnat \(\mathrm{Im}g\) s uvedenými podprostory. To se nejlépe provede v souřadnicích vzhledem k bázi \(B\) prostoru \(\mathbb{R}^3\) (a tím pádem i prostoru \(\mathbb{C}^3\)), která je ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu, její první vektor leží na \(p\) a zbylé dva vektory jsou ortogonální na \(p\). Vzhledem k takové bázi je totiž matice \(f_A\) tvaru \[ [f_A]^B_B = \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&0&-1 \\ 0&1&0 \end{array}\right). \] Speciálně tedy \[ [\operatorname{Im}g]_B = \operatorname{Im}\big([g]^B_B\big) = \operatorname{Im}\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0 \\ 0&-1&-1 \\ 0&1&-1 \end{array}\right) = \operatorname{LO}\{\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}. \] Tj. \(\operatorname{Im}g\) je roven lineárnímu obalu posledních dvou vektorů báze \(B\), které generují rovinu kolmou na osu rotace \(p\) vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu.
- Které z uvedených výroků platí pro každou reálnou regulární matici \(A\) řádu \(5\)? Vše se rozumí ve vektorovém prostoru reálných matic \(5\times5\).
- Označme koeficienty charakteristického polynomu \(p_A(\lambda)\) jako \(c_0, c_1, c_2, c_3, c_4, c_5\). Pak podle Cayleyovy-Hamiltonovy věty (věta 9.119 na str. 363) platí, že \(p_A(A)=0\), tj. \[ c_0I_5 + c_1A + c_2A^2 + c_3A^3 + c_4A^4 + c_5A^5 = 0. \] Jinými slovy, matice \(I_5,A,A^2,A^3,A^4,A^5\) tvoří lineárně závislou posloupnost. Protože předpokládáme, že \(A\) je regulární, nula není vlastní číslo a \(c_0\ne 0\). Tj. platí \[ A^{-1} = -c_0^{-1}c_1I_5 - c_0^{-1}c_2A - c_0^{-1}c_3A^2 - c_0^{-1}c_4A^3 - c_0^{-1}c_5A^4, \] a matice \(A^{-1}\) je proto lineární kombinací matic \(I_5,A,A^2,A^3,A^4\). Nakonec matice \(I_5,A,A^2,A^3,A^4\) mohou tvořit lineárně nezávislou posloupnost. To nastane třeba pro Jordanovu buňku \(J_{0,5}\).
Matematické dotazy
Nebyly.
Organizační dotazy
- Je v plánu nějaký předtermín? Osobně bych preferoval asi co nejdřívější.
- Ano, s předtermínem se počítá. Byl vypsán v SISu na středu 22. 5. od 10:40 hod. v posluchárně N1.