Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- Ať \(D = X^{-1}AX\), kde \(A\), \(D\), \(X\) jsou reálné regulární matice stejného řádu a \(D\) je navíc diagonální. Která z uvedených tvrzení pak nutně platí?
- Podle tvrzení 9.60 na str. 324 jsou hlavní diagonále matice \(D\) jsou vlastní čísla matice \(A\) a ve sloupcích matice \(X\) jsou vlastní vektory matice \(A\). Na druhou stranu matice \(A\) a \(D\) sice mají stejná vlastní čísla podle tvrzení 9.36 (str. 318), ale ne nutně vlastní vektory (kanonické bázové vektory jsou vlastními vektory matice \(D\), ale nemají žádný důvod být vlastními vektory matice \(A\)). Prvky na diagonále matice \(A\) taky nemusejí mít nic do činění s jejími vlastními čísly.
- Uvažujte reálnou čtvercovou matici \(A\) řádu \(2\), která má v prvním sloupci vektor \((0,1)^T\) a ve druhém \((1,1)^T\). Která z uvedených tvrzení pak nutně platí?
- Charakteristický polynom matice \(A\) je \(p_A(\lambda) = -1-\lambda+\lambda^2\) s kořeny \((1+\sqrt{5})/2\approx 1,618\) a \((1-\sqrt{5})/2\approx-0,618\). To první vlastní číslo je v absolutní hodnotě určitě větší než \(1\). Mj. je podle důsledku 9.64 matice \(A\) nad reálnými čísly diagonalizovatelná a platí \[ A \approx \left(\begin{array}{cc}0,447&0,724\\-0,447&0,276\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc}1,618&0\\0&-0,618\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0,447&0,724\\-0,447&0,276\end{array}\right). \] Tj. speciálně \[ A^n \approx \left(\begin{array}{cc}0,447&0,724\\-0,447&0,276\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc}1,618^n&0\\0&(-0,618)^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0,447&0,724\\-0,447&0,276\end{array}\right). \] Například v levém horním rohu má tedy \(A^n\) číslo přibližně \(0,276\cdot 1,618^n+0,723\cdot(-0,618)^n\). O konkrétní čísla tolik nejde. Důležité je, že jde o lineární kombinaci \(n\)-tých mocnin vlastních čísel, kde pro dostatečně velké \(n\) je \((-0,618)^n\) libovolně blízké nule a naopak \(1,618^n\) je pro dostatečně velké \(n\) libovolně velké kladné číslo (formálně přesnou formulaci, která by prošla u zkoušky z analýzy, nechávám jako cvičení). Každopádně pro dostatečně velké \(n\) (konkrétně pro \(n>17\)) je levý horní roh \(A^n\) větší než \(1000\). Pro zvídavé: tatéž matice se vyskytla v příkladu 9.65 a mocniny matice \(A\) obsahují Fibonacciho čísla.
- Co nutně platí o dimenzi jádra matice \(A - 3I_{10}\), pokud \(A\) je reálná čtvercová matice řádu \(10\), jejíž charakteristický polynom je \(p(x) = (x-2)^7(x-3)^3\)?
- Z charakteristického polynomu vidíme, že algebraická násobnost vlastního čísla \(3\) je rovna třem. Z tvrzení 9.69 na str. 328 je tedy geometrická násobnost vlastního čísla \(3\) (což je z definice přesně dimenze jádra matice \(A - 3I_{10}\)) nejvýše \(3\). Třem ale rovna být nemusí, máme např. matici \( A=\operatorname{diag}(J_{2,7}, J_{3,3}) \).
- Která z uvedených tvrzení nutně platí pro libovolnou reálnou čtvercovou matici \(A\) řádu \(2\)?
- Nemá-li \(A\) reálné vlastní číslo, pak je \(A\) podle tvrzení 9.75 na str. 334 podobná matici \(rB\), kde \(r\) je reálné číslo a \(B\) je matice nějaké rotace. Na druhou stranu matice \(A\) nemusí být diagonalizovatelná nad reálnými ani komplexními čísly. Protipříkladem je např. matice \[A=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right).\]
Matematické dotazy
Nebyly.
Organizační dotazy
- Nevím, jestli bude v midtermu/na zkoušce řešení s nejmenší normou, probírali jsme to totiž na cvičeních, ale ve skriptech je celá sekce napsaná drobným písmem.
- U zkoušky nebude, byť v úkolech a na cvičeních jsme Vás s tím konfrontovali. Tady stále platí pravidlo, že věci psané drobným písmem se nezkouší (určitá výjimka z něj možná nastane jen u dynamických systémů).