Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- Předpokládejme, že pro operátor \(f\) na aritmetickém vektorovém prostoru \(\mathbb{R}^3\) platí rovnost \(f\big( (-1, 1, 2)^T \big) = (3, -3, -6)^T\). Které z uvedených tvrzení o vlastních číslech a vektorech \(f\) pak platí?
- Protože \(f\big( (-1, 1, 2)^T \big) = (-3) \cdot (-1, 1, 2)^T\), je určitě \(-3\) vlastní číslo a \( (-1, 1, 2)^T \) příslušný vlastní vektor operátoru \(f\). Pak je ale i každý skalární násobek \( (-1, 1, 2)^T \), tj. speciálně i vektor \( (3, -3, -6)^T \) vlastním vektorem \(f\).
- Ať \(A\) je reálná čtvercová matice řádu \(2\), jejíž charakteristický polynom je \(p(\lambda) = \lambda^2+5\lambda+11\). Co potom víme o součtu prvků na hlavní diagonále a determinantu matice \(A\)?
- Podle tvrzení 9.32 na str. 317 je součet prvků na hlavní diagonále rovný \(-5\) a determinant matice \(A\) je rovný \(11\).
- Ať \(A\) je reálná čtvercová matice řádu \(2\), která má vlastní vektory \(\mathbf{x} = (4, 3)^T\) a \(\mathbf{y} = (2, 1)^T\). Která z uvedených tvrzení potom platí?
- Matice je nutně diagonalizovatelná podle důsledku 9.61 na str. 324. Posloupnost vektorů \(B = \big(\mathbf{x},\mathbf{y}\big)\) totiž tvoří bázi \(\mathbb{R}^2\). Pokud má navíc \(A\) dvě různá vlastní čísla \(\lambda_1\) a \(\lambda_2\), pak každý vlastní vektor \(A\) je skalární násobek \(\mathbf{x}\) nebo \(\mathbf{y}\). To je nejlépe asi vidět v souřadnicích vzhledem k bázi \(B\). Pak je totiž \([f_A]_B^B = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)\) a je jednoduché ověřit, že každý vlastní vektor diagonální matice \(\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)\), pokud jsou tedy čísla \(\lambda_1\) a \(\lambda_2\) různá, je skalární násobek jednoho z kanonických bázových vektorů \(\mathbf{e}_1\) nebo \(\mathbf{e}_2\). Naproti tomu matice nemusí být regulární ani nemusí mít dvě různá vlastní čísla. Protipříkladem k obojímu budiž nulová matice \(0_{2\times 2}\), která zadání vyhovuje.
- Uvažujme reálný vektorový prostor \(\mathbf{V}\) všech diferencovatelných funkcí \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\). Kolik vlastních čísel má lineární operátor \(D\colon\mathbf{V}\to\mathbf{V}\), který přiřadí funkci \(f\) její derivaci \(D(f) = f'\)?
- Úloha určitě dává smysl, i když je \(V\) nekonečně generovaný vektorový prostor. Vlastních čísel je nekonečně mnoho, jak je vysvětleno v příkladu 9.22 na str. 312/313. Ve skutečnosti je každé reálné číslo \(\lambda\in\mathbb{R}\) vlastním číslem operátoru \(D\). Příslušným vlastním vektorem je pak např. funkce \(f(t)=e^{\lambda t}\).
Matematické dotazy
Nebyly.
Organizační dotazy
Nebyly.