Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- Buď \(A\) reálná matice typu \(4\times7\) a \(\mathbf{b}\) nějaký vektor z \(\mathbb{R}^4\), který neleží v \(\operatorname{Im} A\). Kolik přibližných řešení soustavy rovnic \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) metodou nejmenších čtverců existuje?
- Podle tvrzení 8.91 na str. 286 jsou přibližnými řešeními metodou nejmenších čtverců přesně ty vektory \(\widehat{\mathbf{x}}\in\mathbb{R}^4\), které (protože pracujeme nad reálnými čísly) jsou přesnými řešeními soustavy lineárních rovnic \(A^TA\widehat{\mathbf{x}} = A^T\mathbf{b}\). Ale matice \(A^TA\) této poslední soustavy je čtvercová řádu \(7\), která může mít hodnost nejvýše \(4\). Řešení je tedy nekonečně mnoho. Ve skutečnosti byla tato úloha spíš hříčka, protože metodou nejmenších čtverců se spíš přibližně řeší soustavy, kde je víc rovnic než neznámých, zatímco tady to bylo naopak.
- Buď \(\mathbf{V}\) konečně generovaný reálný vektorový prostor. Které z uvedených dodatečných údajů jednoznačně určí orientaci prostoru \(\mathbf{V}\)?
- Orientace je podle definice 7.42 na str. 239 třída ekvivalence bází prostoru \(\mathbf{V}\) vzhledem k relaci ekvivalence souhlasné orientovanosti. Báze v této třídě pak budou podle definice ty kladně orientované a ostatní báze budou záporně orientované. Pokud tedy o jedné bázi prostoru \(\mathbf{V}\) prohlásíme, že je kladně nebo záporně orientovaná, jednoznačně to určí orientaci. Na druhou stranu skalární součin nic neurčuje, k definici orientace vůbec potřeba není. Znalost dimenze \(\mathbf{V}\) orientaci také nijak neurčí.
- Buď \(\mathbf{V}\) orientovaný reálný vektorový prostor se skalárním součinem \(\langle\,,\rangle\), buď \((\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k)\) lineárně nezávislá posloupnost ve \(\mathbf{V}\) a označme \(\mathbf{W} = \operatorname{LO}\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k\}\). Která z uvedených tvrzení o determinantu Gramovy matice \(G\) posloupnosti \((\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k)\) jsou pravdivá?
- Pravdivé bylo pouze to, že determinant \(G\) je roven druhé mocnině objemu rovnoběžnostěnu ve \(\mathbf{W}\), který je určený vektory \((\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k)\). To je, podobně jako v příkladu 8.102 na str. 293, aplikace tvrzení 8.100 na prostor \(\mathbf{W}\) se zúženým skalárním součinem (a libovolnou volbou orientace, na té tady nezáleží). Zbylá dvě tvrzení neplatí. Gramova matice lineárně nezávislé posloupnosti je vždy regulární (pokud tedy \(k>0\), abychom se vyhnuli degenerovanému případu), a má tedy nenulový determinant. To je tvrzení 8.62 na str. 270. Jelikož je tento determinant podle už zmíněného tvrzení 8.100 vždy druhou mocninou reálného čísla, je navíc nutně kladný, čili neplatí ani poslední tvrzení.
- Buď \(\mathbf{V}\) orientovaný reálný vektorový prostor dimenze \(3\) a uvažujme kladně orientovanou ortonormální bází \(B=(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w})\). Čemu je pak roven vektorový součin \(\mathbf{w}\times\mathbf{v}\)?
- Výsledkem je \(-\mathbf{u}\). Jde jenom o vhodně použité tvrzení 8.105 na str. 294 a vlastnosti orientace. Z těch posledních plyne, že \((\mathbf{w},\mathbf{v},\mathbf{u})\) je záporně orientovaná (a stále ortonormální) báze. Naproti tomu \(||\mathbf{w}\times\mathbf{v}||=1\), a tedy \((\mathbf{w},\mathbf{v},\mathbf{w}\times\mathbf{v})\) je kladně orientovaná ortonormální báze. Dále jak vektor \(\mathbf{u}\), tak vektorový součin \(\mathbf{w}\times\mathbf{v}\) jsou jednotkové vektory, které oba leží v ortogonálním doplňku \(\{\mathbf{v},\mathbf{w}\}^\perp\), který má dimenzi jedna. V reálném prostoru dimenze jedna jsou ale jenom dva jednotkové vektory, které se liší o znaménko. Jelikož báze \((\mathbf{w},\mathbf{v},\mathbf{u})\) a \((\mathbf{w},\mathbf{v},\mathbf{w}\times\mathbf{v})\) jsou nesouhlasně orientované, nutně platí \(\mathbf{w}\times\mathbf{v}=-\mathbf{u}\). Ačkoliv argument vypadá poměřně komplikovaně, můžeme se na něj podívat i jinak - pomocí vyjádření vektorů vzhledem k bázi \(B\) si můžeme problém převést do \(\mathbb{R}^3\) se standardním skalárním i vektorovým součinem (vizte tvrzení 8.50 na str. 265 a 8.104 na str. 293). Báze \(B\) pak přejde na kanonickou bázi a výsledek je geometricky názorný a jasný.
Matematické dotazy
Nebyly.
Organizační dotazy
Nebyly.