Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- V prostoru \(\mathbb{C}^2\) je dán skalární součin takový, že posloupnost \((\mathbf{x}, \mathbf{y}) = ((1,i)^T, (0,i)^T)\) je ortonormální báze. Jaký prvek má Gramova matice posloupnosti \((\mathbf{x}, \mathbf{y})\) na místě \((1,2)\)?
- Z definice 8.61 na str. 270 má Gramova matice na pozici \((1,2)\) prvek \(\langle\textbf{x}, \textbf{y}\rangle\). Jelikož předpokládáme, že vzhledem k danému skalárnímu součinu jsou vektory \(\mathbf{x}\) a \(\mathbf{y}\) kolmé, je \(\langle\textbf{x}, \textbf{y}\rangle = 0\).
- Uvažujte Gramovu-Schmidtovu ortogonalizaci v aritmetickém vektorovém prostoru \(\mathbb{R}^4\) se standardním skalárním součinem spuštěnou na posloupnost \(\big( (1, 1, 1, 1)^T, (1, 1, -1, -1)^T, (1, -1, 1, -1)^T \big)\). Jaký bude třetí vektor, který ortogonalizací vznikne?
- Snadno ověříme, že posloupnost vektorů \(\big( (1, 1, 1, 1)^T, (1, 1, -1, -1)^T, (1, -1, 1, -1)^T \big)\) je vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu ortogonální a všechny vektory mají eukleidovskou normu 2. Gramova-Schmidtova ortogonalizace tedy vektory jen znormuje a výsledná ortonormální posloupnost bude \(\big( \frac{1}{2}\cdot(1, 1, 1, 1)^T, \frac{1}{2}\cdot(1, 1, -1, -1)^T, \frac{1}{2}\cdot(1, -1, 1, -1)^T \big)\). Správná odpověď tedy byla, že toto nebyla ani jedna z ostatních nabízených možností.
- Která ze zadaných tvrzení platí, je-li \(\mathbf{U}\) podprostor konečně generovaného komplexního vektorového prostoru \(\mathbf{V}\) se skalárním součinem a \(\mathbf{W}\) je ortogonální doplněk podprostoru \(\mathbf{U}\) v prostoru \(\mathbf{V}\)?
- Určitě podle věty 8.79(1) a (2) platí, že \(\mathbf{U}\cap\mathbf{W} = \{\mathbf{o}\}\) a ortogonálním doplňkem podprostoru \(\mathbf{W}\) je \(\mathbf{U}\). Na druhou stranu \(\mathbf{V}\) není sjednocením, ale součtem podprostorů \(\mathbf{U}\) je \(\mathbf{W}\).
- Která z uvedených zobrazení z \(\mathbb{R}^2\) do \(\mathbb{R}^2\) jsou ortogonální?
- Z uvedených to byla pouze osová symetrie podle přímky \(\operatorname{LO}\{(3,2)^T\}\). Zobrazení dané předpisem \(f(\mathbf{v}) = \mathbf{v} + (3,2)^T\) sice zachovává eukleidovskou vzdálenost bodů, ale ne už tak normu (což je eukleidovská vzdálenost od počátku). Ostatně to ani není lineární zobrazení, protože neposílá nulový vektor na nulový vektor. Zobrazení, které přiřazuje vektoru jeho ortogonální projekci na přímku \(\operatorname{LO}\{(3,2)^T\}\), lineární je, ale není prosté. Proto podle tvrzení 8.88 na str. 284 nemůže být ortogonální.
Matematické dotazy
Nebyly.
Organizační dotazy
Nebyly.