Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- Uvažujme prostor \(\mathbb{R}^3\) se skalárním součinem daným předpisem \(\langle (x_1, x_2, x_3)^T, (y_1, y_2, y_3)^T\rangle = 3x_1y_1 + 2x_2y_2 + x_3y_3 + x_1y_2 + x_2y_1+ x_2y_3 + x_3y_2\). Které z uvedených vektorů jsou kolmé na vektor \((1, 1, 1)^T\)?
- Jsou to ty vektory \((x_1, x_2, x_3)^T\), pro které platí \(0 = \langle (x_1, x_2, x_3)^T, (1, 1, 1)^T\rangle = 4x_1 + 4x_2 + 2x_3\). Z uvedených vektorů tuto rovnost splňovali \((-1, 1, 0)^T \) a \((0, -1, 2)^T\).
- V prostoru \(\mathbb{R}^2\) je dán skalární součin takový, že \(B = ((0, 1)^T, (1, -1)^T)\) je ortonormální báze. Kolik potom vyjde skalární součin vektorů \(\langle(5, -3)^T, (0, 1)^T\rangle\)?
- Jelikož je báze \(B\) vzhledem k uvažovanému skalárnímu součinu ortonormální, platí podle tvrzení 8.50 (str. 265) v reálném případě rovnost \[ \langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle = [\mathbf{x}]_B^T\,[\mathbf{y}]_B. \] Po dosazení za \(\mathbf{x}=(5,-3)^T\) a \(\mathbf{y}=(0,1)^T\) spočítáme vyjádření vzhledem k \(B\), která jsou \([\mathbf{x}]_B=(2,5)^T\) a \([\mathbf{y}]_B=(1,0)^T\). Skalární součin tedy vyjde \(\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle = (2\;5)\,(1\;0)^T=2\).
- Která z uvedených tvrzení nutně platí, je-li \((\mathbf{u}_1,\dots , \mathbf{u}_n)\) ortogonální posloupnost nenulových vektorů v prostoru \(\mathbb{R}^{11}\) s nějakým skalárním součinem?
- Platí, že posloupnost vektorů je lineárně nezávislá (tvrzení 8.42 na str. 262), a tedy i že \(n\le11\). Na druhou stranu posloupnost nemusí být bází. Předpokladům vyhovuje např. libovolná posloupnost s jediným nenulovým vektorem.
- Která z uvedených tvrzení nutně platí, je-li \(\mathbf{V}\) reálný vektorový prostor se skalárním součinem a je-li \(\mathbf{x}\) ortogonální projekce vektoru \(\mathbf{y}\in\mathbf{V}\) na podprostor \(\mathbf{W}\) prostoru \(\mathbf{V}\)?
- Vřele doporučuji se podívat na obrázek 8.6 na str. 267. Odtud je hned vidět, že \((\mathbf{y}-\mathbf{x})\perp\mathbf{x}\). Naproti tomu vektor \(\mathbf{y}\) nemusí být kolmý ani na \(\mathbf{x}\) ani na \(\mathbf{y}-\mathbf{x}\). Jediné, co z uvedeného platí, je nerovnost \(||\mathbf{x}||\le||\mathbf{y}||\). To je okamžitý důsledek Pythagorovy věty (tvrzení 8.47 na str. 264).
Matematické dotazy
- Poněkud mi ze skript není jasné, co všechno je třeba při formulování definice říci explicitně a co lze vynechat, jelikož to plyne implicitně. Uvedu dva konkrétní případy (je jich samozřejmě více): I. Definice 8.41 (Ortogonální/Ortonormální množiny) - zde je explicitně uvedeno "\(\mathbf{V}\) je vektorový prostor nad \(\mathbb{R}\) nebo \(\mathbb{C}\)" a následuje "se skalárním součinem \(\langle,\rangle\)". II. Definice 8.52 (Ortogonální projekce vektoru) - zde je naopak uvedeno pouze "\(\mathbf{V}\) je vektorový prostor se skalárním součinem \(\langle,\rangle\)". Podmínka tělesa není uvedena explicitně, je zahrnuta v předpokladu existence skalárního součinu (který máme definovaný pouze pro prostory nad \(\mathbb{R}\) nebo \(\mathbb{C}\)). Uvedená kolísavost se samozřejmě objevuje i u tvrzení a pozorování (ovšem tam ji chápu jako jistou "úmluvu" mezi autorem a čtenářem, která umožňuje mít přehlednější skripta). U definic mě ovšem tato kolísavost trápí, protože nevím, jak si ji vyložit. Předem děkuji za objasnění.
- Důvod kolísavosti je hlavně ten, že se v tvrzeních i v definicích stále opakují tytéž předpoklady a stále dokola by se tedy měly znovu vypisovat. Pak člověk takový text píše, má tendenci po prvních x výskytech části předpokladů vynechávat a považovat je za implicitní. Občas je to i žádoucí z důvodů čitelnosti, někteří autoři např. upřesní předpoklady pro celou kapitolu na jejím začátku, aby se nemusely stále opakovat. Podobně jako v jiných oblastech lidské komunikace i matematici tak občas nezmiňují věci, které považují za samozřejmé (což může být trochu zrádné). Pokud definici píšete jen jednorázově, mimo kontext nějakého delšího textu na dané téma (např. v testu), je určitě lepší všechny předpoklady zmínit.
Organizační dotazy
- Všiml jsem si, že skripta z minulých let (vizte např. pro letní semestr 2020/21) jsou oproti nynějším trochu obsáhlejší. Je toto způsobeno tím, že se mezitím trochu změnil obsah předmětu?
- K určitým úpravám témat došlo, ale rozsah přednášky se nijak zásadně nezměnil. Jedna ze změn také je, že v akademickém roce 2020/21 ještě nebyly části skript sázeny drobnějším písmem, tato úprava nastala až potom. To určitě mělo na počet stránek také vliv.
- Chtěl bych vědět, zda je možné úkoly odevzdávat na cvičeních cvičícím, nebo jen Vám na přednášce nebo do schránky na IMPAKTu. A ještě jeden dotaz – je možné úkoly odevzdat za dvojici kombinovaně, tedy jeden příklad elektronicky a druhý na papíře?
- Úkoly, prosím, odevzdávejte jen do schránek, na přednášce nebo v Moodlu. Ve dvojici odevzdávejte, prosím, obě úlohy na stejném místě, tj. speciálně obě na papíře nebo obě elektronicky. Obojí je z logistických důvodů, aby se úkoly dostaly včas k opravujícím kolegům a byly Vám správně započítané body.