Zde najdete řešení kvízových otázek a odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly zodpovězeny v rámci řešení, přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Výsledky kvízu jsou pod zvolenou přezdívkou k nalezení v tabulce zde.
Řešení kvízu
- Jaká je norma vektoru \((4,3)^T\) z \(\mathbb{R}^2\)?
- Jelikož jde podle formulace o obecnou normu v prostoru se skalárním součinem (definice 8.26) a ne o eukleidovskou normu (definice 8.5), norma závisí na skalárním součinu.
- Čemu je roven standardní skalární součin komplexních aritmetických vektorů \((1-i, 3)^T\) a \((1+i, -i)^T\)?
- Je to \({(\overline{1}-\overline{i})}\cdot(1+i)+\overline{3}\cdot(-i) = (1+i)^2 - 3i = -i \).
- Co všechno platí pro matici \(A\), je-li zobrazení \(\langle,\rangle\colon \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) definované vztahem \(\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = \mathbf{x}^T A \mathbf{y}\) skalární součin na \(\mathbb{R}^3\)?
- Matice \(A\) musí být symetrická podle pozorování 8.18 a regulární podle diskuze pod definicí 8.19, ale diagonální být nemusí (vizte příklad 8.17).
- Uvažujme dva vektory \(\mathbf{x}, \mathbf{y}\) z reálného prostoru \(\mathbf{V}\) se skalárním součinem. Co lze říci o situaci, kdy platí rovnost \(\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle= ||\mathbf{x}|| \cdot ||\mathbf{y}||\)?
- Podle Cauchyovy-Schwarzovy nerovnosti (věta 8.33) platí, že \(|\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle| = ||\mathbf{x}|| \cdot ||\mathbf{y}||\), právě když je posloupnost \((\mathbf{x},\mathbf{y})\) lineárně závislá. Tj. silnější podmínka, že \(\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = ||\mathbf{x}|| \cdot ||\mathbf{y}||\) (ekvivalentně, že vektory, pokud jsou nenulové, svírají úhel 0 stupňů), implikuje lineární závislost, ale opačná implikace neplatí. Lineárně závislá bude totiž posloupnost i v případě, že \(\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = -||\mathbf{x}|| \cdot ||\mathbf{y}||\), tj. pokud vektory \(\mathbf{x}\) a \(\mathbf{y}\) (pokud jsou nenulové) svírají úhel 180 stupňů. Ostatní dvě možnosti, tj. že rovnost vždy platí nebo platí právě tehdy, když je aspoň jeden z vektorů nulový, jsou zjevně nesprávné.
Matematické dotazy
- Dal by se skalární součin zavést pro těleso racionálních čísel? Čeho bychom se museli vzdát?
- V podstatě jediný problém je s normou, protože norma vektoru s racionálními složkami může být iracionální, např. \(||(1,2)^T||=\sqrt{5}\). Tj. nemohli bychom např. tento vektor znormovat na jednotkový vektror.
Organizační dotazy
- Zajímalo by mě jak to vypadá s finalizací skript. Přijde mi trochu nešťastné se učit z měnících se skript, hlavně protože bych si je rád vytisknul, abych si do nich mohl psát poznámky a obecně se mi z nich lépe učí. (momentálně mam vytisknutou starou verzi a nechci si nechávat tisknout novou, protože nevím jestli se nezmění).
- V tom případě bude asi nejlepší způsob provést něco podobného, jako u vývoje softwaru. Na webu nechám stabilní verzi skript, která je tam aktuálně, a budu vyvíjet novou, kterou vystavím vedle. Změny budou povětšinou drobné korektury a vylepšení. Jediná výjimka je kapitola 9, kde loni došlo k určité změně pořadí témat, a chtěl bych tuto změnu více sladit se skripty.
- Pochopil jsem správně, že záznam z pátku 23.2. není zveřejněn, protože došlo k technické chybě během streamu (který byl bez obrazu)? Pokud ano, tak bylo by možné i tak zveřejnit záznam, i když je bez videa?
- Ano, opět nastal technický problém a je k dispozici jen zvuk (ten byl už zveřejněn). V té souvislosti bych chtěl poprosit, pokud dojde během přednášky k problému se streamem (a tím pádem možná i se záznamem), abyste zavolali na IT horkou linku 951 554 333 na MFF.