Zde najdete odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Matematické dotazy
- Nejsem si jistá, zda jsem pochopila vyjádření souřadnic pomocí skalárního součinu (Tvzrzení 8.47)
- Jelikož ortonormální báze B je pořád báze, libovolný vektror u prostoru V lze jednoznačně vyjádřit vzhledem k B jako u = a1v1 + ... + anvn pro reálná nebo komplexní čísla a1, ..., an (podle toho, nad jakým tělesem máme zadaný náš vektorový prostor). Tvrzení 8.47 říká, že pro ortonormální bázi vzhledem ke skalárnímu součinu <-,-> se tyto koeficienty dají počítat jako ai = <vi, u>.
- Moc nechápu příklad 8.28 a 8.44 ve skriptech. Kde jsme vzali tu matici v tom skalárním součinu?
- Těmi maticemi jsou skalární součiny v těch příkladech zadány. Skalární součin na vektorovém prostoru V nad T=ℝ nebo ℂ je libovolné zobrazení V×V→T, které splňuje axiomy z definice 8.15 (tomu skalárnímu součinu na aritmetických vektorech, který znáte z dřívejška, jsme proto v definici 8.4 přidali přívlastek standardní, abychom ho odlišili). No a předpisy s těmi maticemi v příkladech 8.28 a 8.44 axiomy z definice 8.15 splňují, a tedy mají právo být nazývány skalárními součiny. Ne každá matice by ale fungovala. K tomu máme pozorování 8.22, které nám říká, které matice můžeme použít, abychom skalární součin opravdu dostali.
- Za jakých okolností je vhodné nasadit QR-rozklad na řešení soustav lineárních rovnic? Připadá mi, že je s tím více práce než Gaussovou eliminací a zpětnou substitucí.
To je dobrá otázka, na kterou je ale složitější odpověď. Podrobněji se tím bude příští semestr zabývat přednáška NMNM201 Základy numerické matematiky.
Co se týče výpočtu, tak Gaussova eliminace je jednodušší (je to o něco méně práce), takže v úlohách, které řešíte "na papíře", je asi vhodnější. V praxi ale větší výpočty provádí počítač, který do každé matematické operace může zanést drobnou chybu. Existují pak problémy, ve kterých se tyto drobné chyby mohou akumulovat s fatálním vlivem na výsledek. V takovýchto úlohách je QR rozklad obvykle lepší, protože vliv postupných malých chyb na výsledek je v něm menší než v Gaussově eliminaci, byť je to za cenu provedení více početních operací. Tomuto vlivu drobných chyb na výsledek se říká numerická stabilita.
- Když se bavíme o nestandardních skalárních součinech, připouštíme úhly větší než 90 stupňů? Pokud ano a vyjde nám například úhel dvou vektorů ortogonálních podle daného skalárního součinu 30 stupňů, máme poté technicky dva "pravé úhly" - jeden 30 stupňů a druhý 150 stupňů?
Ač je to otrava, odpověď se skrývá definici 8.36. Pokud máme reálný vektorový prostor se zvoleným skalárním součinem, úhel mezi nenulovými vektory definujeme pomocí vzorečku tam a vyjde vždy mezi 0 a 180 stupni. Co je, myslím, hodné vypíchnutí, je, že pojem úhlu mezi vektory závisí na tom, jaký skalární součin jsme si zvolili.
Mám ale pocit, že mezi řádky se skrývá implicitní otázka, proč vůbec ty nestandardní skalární součiny uvažovat. Tím se ve skriptech zabývá příklad 8.18. Když ho trochu přebásníme, dostaneme se k následující úloze. Řekněme, že chceme spočítat úhel mezi nenulovými vektory u, v∈ℝ2 s použitím standardního skalárního součinu, ale poťouchlý nepřítel nám schválně zadá vektory v souřadnicích vzhledem k nějaké neortonormální bázi B, např. B=((1,-1)T, (1,-2)T). Zkuste se zamyslet nad tím, jak bude fungovat zobrazení ℝ2×ℝ2→ℝ, které přiřadí dvojici ([u]B, [v]B) standardní skalární součin u·v. To počítá přesně to, co z nepřítelových dat spočítat chceme, a bude splňovat samo o sobě axiomy skalárního součinu a navíc vznikne postupem z pozorování 8.22.
Shrnuto (vizte též větu 8.70): Nestandardní skalární součin na reálném nebo komplexním aritmetickém vektorovém prostoru je vlastně je "standardní skalární součin, který se ale pokoušíme počítat vzhledem ke špatné bázi".
Organizační dotazy
- Chtěl bych se zeptat, jestli se objeví seznam vět ke zkoušce na stránkách předmětu.
- V tomto semestru žádný takový seznam neplánujeme. Ukázalo se totiž, že další důležitá a zcela základní fakta, která neměla cejch hlavní zkoušené věty, zůstala celkem opomíjena (aspoň soudě podle výsledků otázky č. 6 u zkoušek ze ZS). Zdánlivá uživatelská příjemnost seznamu ca. 10 vět tedy byla v tomto ohledu poměrně kontraproduktivní. Rozhodli jsme se proto shrnout podstatné body po týdnech v Moodlu a na stránce s požadavky ke zkoušce slovně, protože to mnohem lépe vystihuje skutečné požadavky ke zkoušce. Důkazy prostě budeme zkoušet všechny, které jsou k probírané látce relevantní.