Základní informace
Cílem přednášky v tomto semestru je podat základy simpliciální homotopické teorie, tj. kombinatorické verze algebraické topologie. Velkou část přednášky zabere vysvětlení a důkaz ekvivalence mezi homotopickými kategoriemi topologických prostorů a simpliciálních množin, za kterou stojí funktory geometrické realizace a singulárního komplexu.
Přednáška je rozvržena na pondělí od 17:15 do 18:45 v seminární místnosti KA.
Co bylo probráno
Zde je uveden orientační seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách.
- 15. 10. 2018
- Znění jedné verze hlavní věty přednášky: kategorie CW-komplexů a homotopických tříd zobrazení je ekvivaletní kategorii Kanových komplexů a homotopických tříd zobrazení. CW-komplexy, simpliciální komplexy - topologický i kombinatorický pohled.
- 22. 10. 2018
- Uspořádané simpliciální komplexy, Delta-množiny, simpliciální množiny.
- 29. 10. 2018
- Geometrická realizace simpliciální množiny, přímočará definice i konstrukce přes levou Kanovu extenzi. Adjunkce mezi geometrickou realizací a funktorem singulární simpliciální množiny. Obraz geometrické realizace leží v kategorii CW-komplexů.
- 5. 11. 2018
- Kompaktně generované Hausdorffovy topologické prostory. Jejich vlastnosti a limity a kolimity v CGHaus. Prostory spojitých zobrazení.
- 12. 11. 2018
- Adjunkce mezi - x Y: Top → Top a Map(Y,-): Top → Top pro Y lokálně kompaktní. CGHaus jako uzavřená symetrická monoidální kategorie s Kelleyho produktem. Geometrická realizace jakožto funktor do CGHaus zachovává konečné limity. Obecná lokalizace kategorií.
- 19. 11. 2018
- Quillenovy modelové kategorie, slabé faktorizační systémy a jejich základní vlastnosti.
- 26. 11. 2018
- Homotopie v modelových kategoriích a jejich vlastnosti.
- 3. 12. 2018
- Homotopická kategorie kofibrantních a fibrantních objektů modelové kategorie jako lokalizace.
- 10. 12. 2018
- Hlavní věta o modelových kategoriích, anodové extenze a fibrace simpliciálních množin, interní Hom funktor simpliciálních množin.
- 17. 12. 2018
- Simpliciální homotopie. Simpliciální homotopické grupy a slabé ekvivalence Kanových komplexů.
- 7. 1. 2019
- Popis simpliciálních triviálních fibrací mezi Kanovými komplexy pomocí pravé zdvihací vlastnosti vzhledem k inkluzím ∂Δn ⊂ Δn. Přehled dalších výsledků včetně Quillenovy ekvivalence mezi homotopickými teoriemi simpliciálních množin a topologických prostorů.
- 28. 1. 2019
- Klasická modelová struktura na kategorii kompaktních Hausdorffových topologických prostorů, Quillenův Small object argument. Varianta modelové struktury pro všechny topologické prostory a ekvivalence homotopických kategorií obou modelových kategorií.
- 11. 2. 2019
- Podrobnější přehled a náznaky důkazů dalších důležitých výsledků: Minimální fibrace a to, že jejich geometrické realizace jsou Serreho fibrace. Klasická modelová struktura na kategorii simpliciálních množin a Quillenova ekvivalence modelové struktuře na topologických prostorech. Axiom simpliciální modelové kategorie.
Literatura
Osnova přednášky do značné míry odpovídá první kapitole v monografii
| [GJ] | P. Goerss, J. F. Jardine, Simplicial homotopy theory, Progress in Mathematics 174, Birkhäuser Verlag, 1999. |
Jsou samozřejmě i další monografie, které se věnují tématu. První z nich je starší a cíleně se věnuje tématu simpliciální homotopické algebry a obsahuje důkazy některých důležitých výsledků (např. o kompaktně generovaných topologických prostorech a toho, že geometrická realizace ve vhodném smyslu zachovává konečné limity). Druhá z nich je kompaktně pojatá učebnice homotopické teorie od základů až k pokročilejším aplikacím.
| [GZ] | P. Gabriel, M. Zisman, Calculus of Fractions and Homotopy Theory, Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. |
| [May] | J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. Chicago Lectures in Mathematics, Chicago, 1999. [PDF] |
Jemný úvod do simpliciálních množin, který větší důraz než na detailní důkazy klade na vysvětlování významu a motivace, lze najít v článku
| [Fr] | G. Friedman, An elementary illustrated introduction to simplicial sets, Rocky Mountain J. Math. 42 (2012), no. 2, 353-423. [arXiv] |
Řada i modernějších pojmů z algebraické topologie, ovšem v topologičtěji laděném duchu, lze nalézt v následující monografii. Pro účely přednášky je zde relevantní např. podrobná diskuze CW-komplexů v kapitole 5.
| [Sw] | R. M. Switzer, Algebraic topology—homotopy and homology, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. |
Kratší úvodní text ke kompaktně generovaným (slabě) Hausdorffovým prostorům lze nalézt zde:
| [Str] | N. P. Strickland, The category of CGWH spaces, a preprint. [PDF] |
Základní fakta o modelových kategoriích jsou k nalezení v monografiích
| [Hir] | P. S. Hirschhorn, Model categories and their localizations, Mathematical Surveys and Monographs 99, AMS, 2003. |
| [Hov] | M. Hovey, Model categories, Mathematical Surveys and Monographs 63, AMS, 1999. |