Seminář z metod teorie reprezentací v komutativní algebře - informace o větvi Výběrového semináře z Matematických struktur (NMAG475), v letním semestru 2018/2019.

Základní informace

Jde o odnož Výběrového semináře z Matematických struktur (NMAG475). Cílem je pochopit některé aplikace teorie reprezentací v komutativní algebře, zvláště pak při klasifikaci Cohen-Macaulayových modulů. Jako výchozí bod se budeme zabývat faktům kolem McKayovy korespondence pro jednoduché singularity.

Seminář je rozvržena na úterý od 14:00 do 15:30 v seminární místnosti KA.

Co bylo probráno

Zde je uveden orientační seznam probrané látky po jednotlivých seminářích.

26. 2. 2019
Klasifikace konečných podgrup SO3(R) a SL2(C), okruhy invariantů C[x,y] vzhledem k přirozené akci těchto podgrup, jednoduché (= Kleinovy nebo du Valovy) singularity ([Lam], kap. I.6, II.1 a II.2).
12. 3. 2019
Různé verze klasifikace neprojektivních maximálních Cohen-Macaulayových (= MCM) modulů nad jednoduchými singularitami (základní, zúplněná a gradovaná verze). Eisenbudův popis MCM modulů nad lokálními nadplochami pomocí maticových faktorizací. Příklady maticových faktorizací polynomu xn+1 + yz ∈ C[x,y,z] (což odpovídá MCM modulům nad jednoduchými singularitami typu An) z [KST].
19. 3. 2019
Hrubé schéma Uedova důkazu popisu stabilní kategorie Z-gradovaných MCM modulů nad gradovanými jednoduchými singularitami. Vážené projektivní přímky podle [GL87].
26. 3. 2019
Akce grup na varietách, okruhy invariantů, ekvivariantní objekty a grupově gradované moduly, geometrické versus kategoriální kvocienty, vztah k váženým projektivním přímkám.
9. 4. 2019
Reflektivni lokalizace, Serreho a Gabrielovy lokalizace abelovskych kategorii, kategorie koherentnich svazku na vazene projektivni primce (svazky gradovanych okruhu nad svazkem gradovanych algeber), Serreho veta pro kategorii koherentnich svazku.
30. 4. 2018
Picardova grupa a Serreho dualita pro vazene projektivni primky, Riemann-Rochova veta, vychylujici objekt a derivovana ekvivalence s kanonickymi algebrami.

Literatura

Volné on-line zdroje a inspirace:

Oficiální publikace:

[Eis] D. Eisenbud, Homological algebra on a complete intersection, with an application to group representations, Trans. Amer. Math. Soc. 260 (1980), 35-64.
[GL87] W. Geigle, H. Lenzing, A class of weighted projective curves arising in representation theory of finite-dimensional algebras, Singularities, representation of algebras, and vector bundles (Lambrecht, 1985), 265-297, Lecture Notes in Math. 1273, Springer, Berlin, 1987.
[GL91] W. Geigle, H. Lenzing, Perpendicular categories with applications to representations and sheaves, J. Algebra 144 (1991), 273-343.
[KST] H. Kajiura, K. Saito, A. Takahashi, Matrix factorizations and representations of quivers II: Type ADE case, Adv. Math. 211 (2007), 327-362.
[Lam] K. Lamotke, Regular solids and isolated singularities, Advanced Lectures in Mathematics, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1986.
[LW] G. J. Leuschke, R. Wiegand, Cohen-Macaulay representations, Mathematical Surveys and Monographs 181, AMS, Providence, RI, 2012.
[Yo] Y. Yoshino, Cohen-Macaulay modules over Cohen-Macaulay rings, London Mathematical Society Lecture Note Series 146, Cambridge, 1990.