Základní informace
Jedná se o neformální seminář (není ve Studijním informačním systému), jehož cílem je porozumět klasifikaci topologických teorií pole od J. Lurieho a jeho řešení Baezovy-Dolanovy hypotézy o kobordismech. Prostor bude věnován souvisejícím pojmům, zvláště pak porozumění (∞,n)-kategoriím.
Rozvrh: Čtvrtek 10:40-12:10, v seminární místnosti Matematického ústavu UK.
Seminář byl pro akademický rok 2012/13, ukončen.
Program
Program na 30. května: Klasifikace dvoudimenzionálních rozšířených topologických teorií pole (L. Křižka).
Co bylo probráno
- L. Křižka (7. 3. 2013): Hladké reálné variety bez hranice, s hranicí a s rohy. Lepení hladkých variet podle hranice, bordantnost jako ekvivalence na uzavřených varietách dané dimenze a grupa tříd bordantnosti. Definice klasické topologické teorie pole.
- L. Křižka (14. 3. 2013): Klasifikace 1-dimenzionálních topologických teorií pole.
- L. Křižka (21. 3. 2013): Klasifikace 2-dimenzionálních topologických teorií pole, náznak důkazu přes Morseovy funkce.
- L. Křižka (28. 3. 2013): Konkrétní výpočet invariantu uzavřené souvislé dvoudimenzionální variety rodu g, je-li zadána polojednoduchá (aka totálně rozložitelná) Frobeniova algebra. Příklad pro centrum grupové algebry, který vede na vztah velikosti grupy a dimenzí ireducibilních reprezentací.
- J. Šťovíček (28. 3. 2013): Úvod k monoidálním kategoriím.
- J. Šťovíček (11. 4. 2013): Monoidální funktory a transformace, striktifikace monoidální kategorie. Definice symetrické monoidální kategorie.
- J. Šťovíček (18. 4. 2013): Dokončení základů k symetrickým monoidálním kategoriím, funktorům a transformacím. Definice V-kategorie (tj. kategorie obohacené nad nějakou monoidální kategorií (V,⊗,1)) a 2-kategorie jakožto kategorie obohacené nad Cat, kategorií všech malých kategorií.
- M. Doubek (25. 4. 2013): Bikategorie - definice a základní příklady (2-kategorie, monoidální kategorie) podle textu od Bénaboua níže.
- M. Doubek (2. 5. 2013): Fundamentální 2-grupoid jakožto příklad bikategorie.
- M. Doubek (9. 5. 2013): Fundamentální 2-grupoid jakožto příklad bikategorie (dokončení).
- L. Křižka (16. 5. 2013): Rozšířená katerogie bordismů Bord<n,n-1,n-2> podle disertační práce C. Schommer-Priese The Classification of Two-Dimensional Extended Topological Field Theories (viz přehled literatury). Variety s hranicí, variety s rohy, variety se stěnami a definice 1- a 2-bordismů.
- L. Křižka (23. 5. 2013): Rozšířená katerogie bordismů Bord<n,n-1,n-2> - pokračování. Struktura bikategorie, tj. 2-morfismy jakožto třídy ekvivalence 2-bordismů a jejich vertikální a horizontální skládání.
Literatura
Zde jsou zatím nalezené on-line dostupné informační zdroje. Několik článků k samotné klasifikaci topologických teorií pole a hypotéze o kobordismech:
- J. Lurie, On the Classification of Topological Field Theories. [PDF ke stažení]
- D. S. Freed, The Cobordism Hypothesis. [PDF ke stažení]
- C. Teleman, Five lectures on Topological Field Theory. [PDF ke stažení]
- C. Schommer-Pries, The Classification of Two-Dimensional Extended Topological Field Theories, arXiv:1112.1000. [PDF ke stažení]
Dále pak delší seznam textů, které si kladou za cíl studovat vyšší kategorie a slabé kategorie z hlediska algebraické topologie, setříděný víceméně chronologicky:
- A. Hirschowitz, C. Simpson, Descente pour les n-champs (Descent for n-stacks), arXiv:math/9807049. [PDF ke stažení]
- C. Rezk, A model for the homotopy theory of homotopy theory, arXiv:math/9811037. [PDF ke stažení]
- B. Toën, G. Vezzosi, Segal topoi and stacks over Segal categories, arXiv:math/0212330. [PDF ke stažení]
- B. Toën, Homotopical and Higher Categorical Structures in Algebraic Geometry. [PDF ke stažení]
- B. Toën, Vers une axiomatisation de la théorie des catégories supérieures. [PDF ke stažení]
- E. Cheng, A. Lauda, Higher-Dimensional Categories: an illustrated guide book. [domovská stránka] [PDF ke stažení]
- J. E. Bergner, A survey of (∞,1)-categories, arXiv:math/0610239. [PDF ke stažení]
- C. Barwick, Extended Research Statement (2007), [PDF ke stažení]
- C. Rezk, A cartesian presentation of weak n-categories, arXiv:0901.3602. [PDF ke stažení]
- C. Barwick, C. Schommer-Pries, On the unicity of the homotopy theory of higher categories, arXiv:1112.0040. [PDF ke stažení]
- J. E. Bergner, C. Rezk, Comparison of models for (∞,n)-categories I, arXiv:1204.2013. [PDF ke stažení]
- D. Ara, Higher quasi-categories vs higher Rezk spaces, arXiv:1206.4354. [PDF ke stažení]
Pro porozumění vyšším a slabým monoidálním kategoriím bude nejspíš nutné dobře rozumět klasičtějším pojmům, které zahrnují pouze některé z těchto přívlastků. Zde jsou některé monografie, které se z různých perspektiv zabývají monoidálními kategoriemi:
- S. Mac Lane, Categories for the working mathematician, Springer-Verlag, New York, 1998.
- M. Hovey, Model categories, Mathematical Surveys and Monographs 63, AMS, Providence, RI, 1999.
- Ch. Kassel, Quantum groups, Graduate Texts in Mathematics 155, Springer-Verlag, New York, 1995.
Klasický pohled na vyšší kategorie a především 2-kategorie je k dispozici například v následujících textech:
- J. Bénabou, Introduction to bicategories, 1967 Reports of the Midwest Category Seminar, pp. 1–77 Springer, Berlin.
- R. Street, Bicategories and 2-categories, Encyclopaedia of Mathematics, Supplement II, pp. 65-67. [PDF ke stažení]
Standardní text k obohaceným kategoriím, které se jednak hodí pro základní definici 2-kategorie a jednak budou potřeba k diskuzi simpliciálních kategorií v kontextu slabých kategorií, je:
- G. M. Kelly, Basic concepts of enriched category theory, LMS LNS 64, Cambridge University Press, 1982. [PDF ke stažení]