[Taháky z MA pro F, 3. ročník, M.Rokyta]
Grafy Besselových funkcí
Besselovy funkce jsou důležité neelementární funkce, mající (pro velké hodnoty reálné proměnné) charakter tlumených kmitů. Používají se zejména při řešení parciálních diferenciálních rovnic ve dvou dimenzích, nejdete je i ve vzorcích pro Fourierovu transformaci sféricky symetrických dvourozměrných funkcí.
Pro formální definici Besselových funkcí řadou a jejich základní vlastnosti pohlédněte prosím na tuto stránku.
Nultá Besselova funkce
Funkce J0(x) je sudá, po rozšíření do C je holomorfní všude v C, v okolí nuly se chová jako konstanta, a, jako všechny Besselovy funkce, tlumeně kmitá při přechodu do nekonečna. Na následujících dvou obrázcích je (modře) její graf, pro hodnoty blízké nule a pro hodnoty v intervalu (-70,70).
Besselovy funkce řádů 1,2,3,...
Funkce J1(x), J2(x), J3(x), ..., jsou sudé resp. liché, podle toho jsou-li řádu sudého či lichého, po rozšíření do C jsou holomorfní všude v C, v okolí nuly se Jk(x) chová jako xk, a, jako všechny Besselovy funkce, tlumeně kmitají při přechodu do nekonečna. Na následujícím obrázku jsou grafy funkcí J1(x) (modře), J2(x) (červeně), J3(x) (zeleně). Všímejte si zejména lokálního chování v nule.
Besselovy funkce řádů -1,-2,-3,...
Funkce J-1(x), J-2(x), J-3(x), ..., jsou sudé resp. liché, podle toho jsou-li řádu sudého či lichého. Jsou to vlastně funkce J1(x), J2(x), J3(x), které se v případě lichého řádu funkce liší pouze znaménkem od odpovídající funkce s kladným řádem. Na následujícím obrázku jsou grafy funkcí J-1(x) (modře), J-2(x) (červeně), J-3(x) (zeleně). Všímejte si zejména lokálního chování v nule. Porovnejte s předchozím obrázkem.
Besselovy funkce řádů 1/2,3/2,5/2...
Funkce J1/2(x), J3/2(x), J5/2(x), ..., jsou z hlediska reálných hodnot definovány pouze pro nezáporná reálná čísla, jejich rozšíření do komplexní roviny se chová stejně jako obecná mocnina, tedy je holomorfní v C, s výjimkou nějaké uzavřené polopřímky, spojující bod 0 a bod nekonečno. V pravém okolí nuly se chovají jako příslušná mocnina x, tj. xk/2, a, jako všechny Besselovy funkce, tlumeně kmitají při přechodu do nekonečna. Na následujícím obrázku jsou grafy funkcí J1/2(x) (modře), J3/2(x) (červeně), J5/2(x) (zeleně). Všímejte si zejména lokálního chování v nule.
Besselovy funkce řádů -1/2,-3/2,-5/2...
Funkce J-1/2(x), J-3/2(x), J-5/2(x), ..., jsou z hlediska reálných hodnot definovány pouze pro kladná reálná čísla, jejich rozšíření do komplexní roviny se chová stejně jako obecná mocnina, tedy je holomorfní v C, s výjimkou nějaké uzavřené polopřímky, spojující bod 0 a bod nekonečno. V pravém okolí nuly se chovají jako příslušná mocnina x, tj. x-k/2, a, jako všechny Besselovy funkce, tlumeně kmitají při přechodu do nekonečna. Na následujícím obrázku jsou grafy funkcí J-1/2(x) (modře), J-3/2(x) (červeně), J-5/2(x) (zeleně). Všímejte si zejména lokálního chování v nule.
Asymptotika Besselových funkcí
Lze ukázat, že Besselovy funcke se pro velké hodnoty x chovají všechny jako "odmocninou tlumený kosinus", viz vzoreček na stránce o Besselových funkcích. Tuto asymptotiku nelze použít pro malé hodnoty x, jak ukazuje následující obrázek, kde je modře zobrazena funkce J7/2(x) a červeně "její tlumený kosinus". Všimněte si, že v okolí nuly jde o dvě různé funkce, už kolem hodnoty 7 se však "začínají podobat".
Již od hodnoty 10 jsou si obě funkce velmi podobné, a pro x řádově stovky již téměř nelze obě funkce rozeznat:
Všechny Besselky
Všechny Besselky tedy vypadají pro malá x jako odpovídající mocniny a pro velká x jako tlumené posunuté cosiny. V následujícím grafu jsou pro zdůraznění tohoto faktu zakresleny tyto Besselovy funkce: J1(x) (modře), J9(x) (červeně), J-6(x) (zeleně), J17/5(x) (fialově), J-31/67(x) (černě).
M. Rokyta, 24.10.2006
