Matematická logika

1. Výrok (\(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B}\)) \(\vee\) \(\mathbf{C}\) je pravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

2. Výrok (\(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}}\)) \(\wedge\) (\(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}}\)) je pravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 0, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

3. Výrok \(\mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\vee \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Leftrightarrow \mathrm{\mathbf{B}})}\) je nepravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 0

4. Výrok \(\mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\Rightarrow \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})}\):

 Je tautologií.

 Není tautologií.

5. Výrok \([\mathrm{\mathbf{B}}\Leftrightarrow \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}})}] \wedge [\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\vee \mathrm{\mathbf{C}})}\Rightarrow \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{C}})}]\):

 Je tautologií.

 Není tautologií.

6. V kolika řádcích tabulky pravdivostních hodnot vyjde výrok \([\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{C}})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}}] \wedge [\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}})}\Leftrightarrow \mathrm{\mathbf{A}}]\) pravdivý:  

7. Uvažujme implikaci: „Jestliže je Bratislava hlavním městem Slovenské republiky, pak Žilina není hlavním městem Spolkové republiky Německo. “ Obměněnou implikací je výrok:

 Jestliže Žilina není hlavním městem Spolkové republiky Německo, pak Bratislava je hlavním městem Slovenské republiky.

 Jestliže je Žilina hlavním městem Spolkové republiky Německo, pak Bratislava není hlavním městem Slovenské republiky.

 Žilina je hlavním městem Spolkové republiky Německo nebo Bratislava není hlavním městem Slovenské republiky.

 Žilina není hlavním městem Spolkové republiky Německo, z toho plyne, že Bratislava je hlavním městem Slovenské republiky.

8. Negací výroku \([\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}}] \wedge [\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\vee \mathrm{\mathbf{C}})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}]\) je:

 \(\mathrm{[(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}}) \wedge ¬\mathbf{C}]}\vee \mathrm{[(\mathrm{\mathbf{B}}\vee \mathrm{\mathbf{C}}) \wedge ¬\mathbf{A}]}\)

 \(\mathrm{[(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}}) \wedge \mathbf{C}]}\vee \mathrm{[(\mathrm{\mathbf{B}}\vee \mathrm{\mathbf{C}}) \wedge \mathbf{A}]}\)

 \([(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}}) \wedge ¬\mathbf{C}] \wedge [(\mathrm{\mathbf{B}}\vee \mathrm{\mathbf{C}}) \wedge ¬\mathbf{A}]\)

9. Výrok ekvivalentní s výrokem \(\mathrm{[\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}]}\Rightarrow \mathrm{[\mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\vee \mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}})}]}\) je:

 \(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}}\)

 \(\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}})}\Rightarrow \mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\vee \mathrm{¬\mathbf{A}})}\)

 \(\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}})}\vee \mathrm{\mathbf{A}}\)