Vítám vás na stránkách Matematiky A. Důkladně si je pročtěte - najdete v nich mnoho užitečných informací a
odpovědi na většinu možných otázek.
Přednáška 55F100 Matematika A je čtyřhodinová. Koná se v pondělí 14:30-16:00 + 16:15-17:45 v RB101.
| Datum. Stručný obsah | Domácí úkoly | Slajdy z přednášky |
| 13.2. I. Přehled požadovaných vstupních znalostí. Reálná čísla, intervaly. Množinové a logické operace, kvantifikátory. Aritmetické operace s reálnými čísly a s abstraktními výrazy: zlomky, mocniny, odmocniny. Rovnice, nerovnice a grafy jednoduchých funkcí v kartézských souřadnicích: a) Lineární rovnice a nerovnice, lineární funkce, význam jejích koeficientů (průsečík s osou y, směrnice přímky, přímka rostoucí/klesající). b) Rovnice s absolutní hodnotou, graf funkce abs. hodnota. c) Rovnice kvadratické (diskriminant, výpočet kořenů, Vietovy vztahy). | 1 2 | 13.2. |
|
20.2. Graf kvadratické funkce, význam koeficientů (konvexita, konkavita), výpočet a znázornění vrcholu paraboly. d) Kubické rovnice a nerovnice (odhadnutí celočíselných kořenů, dělení polynomů). Exponenciála a logaritmus, zavedení a základní vlastnosti a vztahy. Graf lineární lomené funkce, asymptoty a střed hyperboly,
posun grafu 1/x. II. Posloupnosti a limity. Posloupnosti konečné a nekonečné, posloupnost aritmetická, geometrická. Limita posloupnosti konečná, pojem konvergence/divergence, základní příklady, nekonečná limita.
Minitest 21.2.: Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou. |
3 4 | 20.2. |
|
27.2. Limita aritmetické a geometrické posl., věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu, rozšířené operace s limitami (tj. i s nekonečnými), příklady na výpočet limit, početní finta č.1 (vytknutí členů s
nejvyššími mocninami). Další příklady na limity: finta č.2 (vytknutí exponenciál s nejvyššími základy), finta č.3 (odečtení odmocnin pomocí rozšíření výrazem s opačným znaménkem). Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí
limit jistých posloupností. Ekonomický význam Eulerova čísla. Řady konečné a nekonečné, příklady - zejména geometrická řada. Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí jistých nekonečných řad. III. Funkce jedné
proměnné. Pojem funkce = funkční předpis + definiční obor. Obor hodnot.
Minitest 28.2.: Kvadratická funkce -- výpočet průsečíků s osami, vrcholu, graf. |
5 6 | 27.2. |
|
6.3. Zoo základních funkcí. Pojem prostá funkce, inverzní funkce a jak vznikne její graf z původní funkce. Mocniny a odmocniny, exponenciály a logaritmy (přirozené a s obecným základem). Pojem složená funkce, hledání
jejího definičního oboru. Spojitost funkce. Limita funkce - definice. Jednostranné limity, základní příklady s limitami. Výpočet limity funkce: věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu, věta o limitě složené funkce.
Rozlišení podle polohy bodu x_0 vzhledem k D_f: 1. v bodě v D_f spojité funkce je limita rovna funkční hodnotě, 2. v krajním bodě D_f - A. je-li tímto bodem (plus minus) nekonečno, používáme analogické postupy jako u limit
posloupností s opatrností ohledně znamének. Minitest 7.3.: Určení definičního oboru funkce, jejích průsečíků s osami a kde je kladná/záporná (kombinace odmocnin a rac. lom. funkcí). |
7 8 | 6.3. |
|
13.3. B. Je-li daný bod reálný: výpočet limity typu a/0 pomocí tzv. dělení "kladnou a zápornou nulou".Limity exponenciály a logaritmu a jejich kombinací s mocninami. Derivace funkce: zavedení, derivace základních
funkcí. Pravidla pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu, a pro derivaci složené funkce. Derivace funkce - příklady.
Minitest 14.3.: Limity posloupností. |
9 | 13.3. |
|
20.3. L'Hospitalovo pravidlo pro výpočet limity posloupnosti typu 0/0, nekonečno/nekonečno a jeho užití v příkladech. Význam derivace funkce v bodě jako směrnice příslušné tečny, výpočet rovnice tečny v daném bodě.
Nekonečná derivace, jednostranné derivace, absolutní hodnota jako příklad funkce, která nemá v 0 derivaci. Monotonie funkce (funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající v intervalu). Lokální a globální extrémy,
stacionární body. Vztah mezi znaménkem derivace a monotonií funkce. Výjimečné (podezřelé) body = kandidáti na extrém. Minitest 21.3.: Limity funkcí v krajních bodech definičního oboru. |
10 11 | 20.3. |
|
27.3. Zjištění monotonie mezi dvěma výjimečnými body. Funkce sudé a liché. Asymptoty (svislé v bodě, obecné v plus minus nekonečnu) a jejich výpočet, druhá derivace, konvexita - konkavita. Přehled dílčích kroků při
vyšetření průběhu funkce. Příklady vyšetření průběhu funkce. Minitest 21.3.: Derivace funkcí. |
12 13 | 27.3. |
|
3.4. Další příklady vyšetření průběhu funkce. Souvislost lok. extrémů a druhé derivace funkce.
IV. Funkce více proměnných. Parciální derivace, druhé parciální derivace a jejich záměnnost, stacionární bod funkce. Pojem matice, Jacobiho matice. Hledání globálních
extrémů funkce na kompaktní množině: Pojem kompaktní množiny, Weierstrassova věta, obecné schéma hledání kandidátů na extrém. Minitest 4.4.: Úlohy s tečnami. |
14 = stránky Michala Zamboje s řešenými příklady z minulých závěrečných testů. 15 16 | 3.4. |
|
10.4. Rozlišení metod hledání vázaných extrémů podle typu okraje (pro funkce dvou proměnných): (A) dosazovací metoda - na mnohoúhelníku a na množinách s polynomiálními a některými dalšími vazbami. Speciální případ
lineární funkce -- lineární programování. Extrémy funkcí na množinách v rovině se (zakřiveným) okrajem zadaným jednou vazbou: (B) metoda jacobiánu pro dvě proměnné, (C) metoda Lagrangeových multiplikátorů pro dvě proměnné,
příklady a porovnání těchto metod. Minitest 11.4.: Určení intervalů monotonie funkce. |
17 18 | 10.4. |
|
17.4. Pondělí velikonoční. Minitest 18.4.: Výpočet asymptot funkce. Průběžné testy: středa 19.4. 16:15-17:45 Likešova, čtvrtek 20.4. 16:15-17:45 RB101 (čistý čas písemky je 75 minut). Obsah průběžného testu |
-- | -- |
|
24.4. Metoda Lagrangeových multiplikátorů pro více proměnných a více vazeb, příklady. Determinant matice 3x3, metoda Jacobiánu pro případ 3 proměnných a 2 vazeb. Porovnání metod jacobiánu a LM. Minitest 25.4.: Stacionární body funkce dvou proměnných. |
19 20 21 | 24.4. |
|
1.5. Státní svátek. Minitest 2.5.: Dosazovací metoda. |
-- | -- |
|
8.5. Státní svátek. Minitest 9.5.: Metoda jacobiánu / Lagr. mult. pro dvě proměnné. |
-- | -- |
|
Závěrečné informace:
Zde jsou kompletní testy z předchozích semestrů (zadání, bez řešení). Obsah Závěrečného testu. |