\begin{align}
\end{align}
Určenost osové afinity
Osová afinita je určena osou afinity o a párem odpovídajících si bodů A, A´.
Není třeba znát směr afinity, protože je určen body A, A´.
Pokud je OA zadána takto, můžeme hned konstruovat obrazy prvků.
Pokud je zadaná jinak, musíme nejprve určit o, A, A´.
Osovou afinitu lze určit například těmito způsoby:
- Dvě různoběžné přímky a jejich obrazy
- Tři páry odpovídajících si bodů
- Přímka a bod ležící mimo ni a jejich obrazy
- Dvě rovnoběžné přímky a jejich obrazy a směr afinity
- Osa afinity, směr afinity a charakteristika
- Charakteristika a dva páry odpovídajících si bodů
Následují příklady o tom, jak může být osová afinita zadána
a řešení, jak najít osu afinity a pár odpovídajích si bodů.
Úlohu si nejprve zkuste vyřešit sami: Zadání,
Řešení. V obrázcích jsou použity jednotné barvy.
Zadané prvky modrou barvou, výsledek (osa a pár odpovídajících si bodů) červenou barvou.
Dvě různoběžné přímky a jejich obrazy (a, a´, b, b´)
Krokované řešení: Jsou dány různoběžné přímky
a, b a jejich obrazy
a´, b´.

Podle definice víme, že průsečík
X odpovídajících si přímek
a, a´ leží na ose
o,
je to samodružný bod.

Bod
Y je druhým samodružným bodem, je to průsečík přímek
b, b´.

Body
X, Y určují osu afinity
o.

Průsečík přímek
a, b se zobrazí na průsečík přímek
a´, b´. Tento bod označíme
A, A´ a tímto jsme našli odpovídající si body. Příklad je nyní hotov.
Tři páry odpovídajících si bodů (A, A´; B, B´; C, C´)
Krokované řešení: Jsou dány tři páry odpovídajících si bodů
A, A´; B, B´; C, C´.
Aby body
A, A´; B, B´; C, C´ byly afinně sdružené, musí být přímky
AA´, BB´, CC´ rovnoběžné.

Třemi body lze proložit tři přímky. Ke konstrukci stačí pouze dvě přímky. Například přímka
p (určena body
A, B) a přímka
q (určena body
A, C). Přímka
p´
je určena body
A´, B´, přímka
q´ je určena body
A´, C´.

Nyní známe dvě různoběžné přímky a jejich obrazy, takže můžeme postupovat stejně jako v předchozím příkladě.
Průsečík přímek
p, p´ je samodružný bod
X, průsečík přímek
q, q´
je samodružný bod
Y.

Body
X, Y určují osu afinity
o.

Směr je určen odpovídajícími si body
A, A´.
Přímka a bod ležící mimo přímku a jejich obrazy (A, A´; p, p´)
Krokované řešení: Je dána přímka
p (
p´) a bod
A (
A´),
který na přímce
p (
p´) neleží.

Bodem
A vedeme libovolnou pomocnou přímku, která je s přímkou
p rovnoběžná nebo různoběžná.
Jednodušší a rychlejší je zvolit přímku
a, rovnoběžnou s přímkou
p,
procházející bodem
A. Díky zachování
rovnoběžnosti a
incidence je přímka
a´
rovnoběžná s přímkou
p´ a prochází bodem
A´.

Nyní známě dvě přímky a jejich obrazy. Průsečík přímek
p, p´ je samodružný bod
X,
průsečík přímek
a, a´ je samodružný bod
Y.

Body
X, Y určují osu afinity
o.

Směr je určen již od začátku body
A, A´. Takto je úloha hotová. Může se ale stát, že se průsečík
přímek
a, a´ nevejde na papír. Úlohu pak musíme řešit jinak: pomocí různoběžné přímky.

Na přímce
p zvolme libovoně bod
P. Jeho obraz (
P´) leží ve směru afinity
AA´ a na přímce
p´.

Body
AP (
A´P´) je určena přímka
b (
b´).

Nyní známe dvě přímky a jejich obrazy. Osa afinity je dána jejich samodružnými body.
Bod
P již můžeme zvolit tak, aby se průsečík
b, b´ vešel na papír.
Dvě rovnoběžné přímky a jejich obrazy (p, p´; q, q´) a směr afinity s
Krokované řešení: Jsou dány přímky
p, q a jejich obrazy
p´, q´ a směr
afinity
s, který je s přímkami
p, q různoběžný.

Známe dvě přímky a jejich obrazy. Jednoduše nalezneme samodružné body
X, Y jako průsečíky
přímek
p, p´ a
q, q´.

Body
X, Y určují osu afinity
o.

Ještě potřebujeme určit odpovídající si body
A, A´. Na přímce
p zvolíme libovolně bod
A a ve směru afinity
s na přímce
p´ nalezneme obraz bodu
A (
A´).
Osa afinity o, směr afinity s a charakteristika
k = \frac{2}{3}
Krokované řešení: Je dána osa afinity
o, směr afinity
s
a charakteristika
k.

Známe osu i směr, takže hledáme pár odpovídajících si bodů
A, A´.
Zvolme libovolně bod
A.

Bodem
A vedeme přímku rovnoběžnou se směrem
s a na průsečíku této přímky
s osou afinity leží bod
A*.

Pro určení bodu
A´ se užije charakteristiky
k = \frac{2}{3},
|k| = \frac{|AA^*|}{|A´A^*|} . |
AA*| = 2 jednotky a |
A´A*| = 3 jednotky.
Bod
A´ leží na kružnici se středem v bodě
A*
a jeho poloměr
= \frac{3}{2} . |AA^*| .
|A´A^*|= \frac{3}{2} . |AA^*|

Takto získáváme dvě řešení. Podíváme se, jestli je charakteristika kladná nebo záporná.
V našem případě je
k kladná, takže bod
A* je vnějším bodem úsečky
AA´
a tedy body
A, A´ leží v téže polorovině určené osou
o.
Charakteristika afinity k = - 3 a dva páry odpovídajících si bodů
A, A´; B, B´
Krokované řešení: Jsou dány body
A, A´; B, B´ a charakteristika
k = - 3

Pro body
A, A´ a charakteristiku
k platí:
\frac{|AA^*|}{|A´A^*|} = | - \frac{3}{1}|. |
AA*| = 3 jednotky, |
A´A*| =
1 jednotka. Bod
A* je vnitřní bod úsečky
A, A´, protože je charakteristika záporná.
Rozdělíme proto úsečku
A, A´ na 4 díly.
|k| = \frac{|AA^*|}{|A´A^*|} = |- \frac{3}{1}|.
Bod
A* proto bude blíže bodu
A´.

Bod
B* zkonstruujeme stejně jako bod
A*.

Body
A*, B* určují osu
o.