Teorie čísel a RSA
Průběh přednášky
(23.2.) 1.Cyklické grupy. Pojem grupy a podgrupy, podgrupa generovaná množinou. Izomorfismus grup.
[D, 1.2-4]. Charakterizace cyklických grup [D, 2.1-2].
(2.3.) Struktura pogrup a endomorfismů cyklické grupy [D, 2.3-4]. Řády prvků a Eulerova funkce [D, 2.5].
(9.3.)
Konečná podgrupa multiplikativní grupy tělesa je cyklická [D, 2.6]. Součin grup, Čínská věta o zbytcích [D, 2.7-8].
(16.3.)
Protokol RSA [D, 2.14]. 2.Testy prvočíselnosti. Struktura multiplikativní grupy Zn* [D, 2.9-10].
(23.3.) Generátory multiplikativní grupy Zn*. Fermatův test, Fermatovi lháři a Carmichaelova pseudoprvočísla.
(30.3.) Rabin Millerův test, míjení involucí a odhad počtu silných lhářů [D, 2.12-13].
(6.4.) Wilsonova věta [D, 2.11], 3.Gaussova celá čísla. Popis prvočinitelů oboru Gaussových celých čísel [D, 3.1].
(13.4.) Použití oboru Gaussových celých čísel pro řešení diofantických rovnic x2 +y2= z2 a x2 +y2= z3 [D, 3.3] a [SH1].
(20.4.) 4. Kvadratická rezidua Výpočet kvadratických reziduí modulo prvočíslo [D, 3.2] a charaktery [D, 3.4].
(27.4.) Gaussovy součty a Gaussovy kvadratické součty [D, 3.4, 5]. Gaussovo lemma a cyklotomické polynomy [D, 3.6]
(4.5.) Ireducibilita racionálních cyklotomických polynomů. Zákon reciprocity a Jacobiho symboly. [D, 3.6-8].
(11.5.) 5. Řetězové zlomky Dobré aproximace racionálních a iracionálních čísel [D, 5.1-3.] nebo [SH2].
(18.5.) Vlastnosti dobrých aproximací. Existence a jednoznačnost vyjádření racionálních čísel čistými řetězovými zlomky [D, 5.4-6.].
(25.5.) Existence a jednoznačnost vyjádření iracionálních čísel nekonečnými řetězovými zlomky [D, 5.6-7.].
6. Hustota prvočísel Věta o hustotě a Bertrandův postulát (bez důkazu) [D, část 4]. .
[D] skripta A. Drápala,
[SH1] text Š. Holuba,
[SH2] text Š. Holuba,