Algebra II

Přednáška:  Pátek  10:40 - 12:10 S4

Abstrakt. Začneme dělitelností v komutativních monoidech. Získané výsledky použijeme k charakterizace Gaussových oborů integrity. Dále budeme zkoumat obory polynomů. Následně přejdem k teorie těles. Popíšeme konstrukce kořenových a rozkladových nadtěles a probereme základy Galoisovy teorie. Charakterizujeme konečná tělese a ukážeme Abelovu-Ruffiniho větu o neřešitelnosti racionálních polynomů pomocí radikálů. Ukážeme Sylowovy věty. Ty spolu s Galoisovou teorií pak využijeme k důkazu základní věty algebry.

Průběh zkoušky Zkouška bude sestávat ze tří otázek; jedné obecné pokrývající větší téma, jedné konkrétní v rozsahu jedné věty a jejího detailního důkazu a jednoho příkladu nebo aplikace.

Průběh kurzu

  1. 1. března 2019. Začali jsme probírat dělitelnost v komutativních monoidech. Definovali jsme základní pojmy (např. prvočinitel, ireducibilní prvek) a zkoumali vlastnosti největších společných dělitelů.
  2. 8. března 2019. Definovali jsme Gaussovy monoidy, ve kterých má každý prvek jednoznačný rozklad v součin nerozložitelných prvků (až na pořadí a relaci asociovanosti). Zkoumali jsme vlastnosti těchto monoidů.

    1. část skript: Dělitelnost v komutativních monoidech

  3. 15. března 2019. Definovali jsem pojmy okruhu, okruhového homomorfimu, ideálu a faktorového okruhu. Ukázali jsme, že ideály odpovídají jádrům okruhových homomorfismů. Popsali jsme strukturu uspořádané množiny ideálů a nahlédli vztah dělitelnosti s uspořádáním hlavních ideálů v komutativních okruzích. Definovali jsme Gaussovy obory a charakterizovali je podobně jako Gaussovy monoidy. Nakonec jsme ukázali, že obory hlavních ideálů jsou Gaussovými obory.

    2. část skript: Okruhy, ideály a dělitelnost

Literatura

  1. Lang, S., Algebra (Rev. 3rd ed.), Springer-Verlag, 2002.
  2. MacLane, S., Birkhoff, G., Algebra (3rd ed.), Providence 1999, AMS Chelsea publishing company.
  3. Burris, S. N., Sankappanavar H. P., A Course in Universal Algebra, The Millenium Edition, Waterloo 2012. URL: https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html

Home Page     SIS