Prednaska z matematiky pro fyziky

[MA pro F, 3. ročník, ZS 2006/2007, M.Rokyta]

Sylabus přednášky MAF044, ZS 2006/2007

Místo a čas konání: Pondělí, 15:40, M1 Středa, 15:40, M1

Text na této stránce zachycuje skutečný stav toho, co se odpřednášelo. Přesnější požadavky k teoretické části zkoušky naleznete zde.

1. Fourierova a Laplaceova transformace funkcí
Oficiální taháky k této kapitole:
Fourierova transformace - přehled
Laplaceova transformace - přehled
Laplaceova transformace - tabulka vzorů a obrazů

1.1. Fourierova transformace v L¹, L², S - opakování

Definice Fourierovy transformace pro funkce z L¹(Rⁿ). Různé Fourierovy transformace (různé volby škálovacích konstant). Základní vlastnosti F.T. Transformace fce sudé, liché, symetrické. Škálování a posun v transformaci. Transformace radiálně symetrické fce v R³. Symetrie v dualitě mezi f a F(g), resp. g a F(f). Konvoluce, F.T. konvoluce. Multiindexy, Schwarzův prostor S (prostor rychle klesajících funkcí). Vlastnosti prostoru S. Fourierova transformace Gaussovy exponenciely s různým škálováním. Věta o inverzi pro fce z S. Vlastnosti Fourierových obrazů fcí z S, L¹. Vztah Fourierovy transformace a derivace. Neceločíselné derivace (bonus). Věta o inverzi pro funkce z L¹, Parsevalova rovnost, rozšíření F.T. do prostoru L², věta o inverzi pro funkce z L². Použití F.T. pro řešení ODR a PDR (příklad - rovnice vedení tepla).

1.2. Laplaceova transformace

Prostor L¹_loc, prostor L¹₊. Definice Laplaceovy transformace pro funkce z L¹₊. Korektnost definice, kritická konstanta c^*_f. Vlastnosti Laplaceovy transformace, holomorfnost Laplaceova obrazu funkcí z L¹₊. Základní vztahy: posunutí, škálování, vztah k derivaci, k integrálu. Prostota Laplaceovy transformace. Věta o inverzi: inverzní formule ve tvaru křivkového integrálu v C, ve tvaru součtu reziduí. Použití na řešení ODR s počátečními podmínkami.

2. Některé speciální funkce
Oficiální taháky k této kapitole:
Gamma a Beta funkce
Besselovy funkce - přehled
Grafy Besselových funkcí

2.1. Funkce Gamma a Beta

Definice a základní vlastnosti Gamma funkce, její holomorfnost pro Re z kladné, funkcionální rovnice a rozšíření Gamma funkce na C bez celých záporných čísel. Singularity Gamma funkce a rezidua v nich. Definice Beta funkce a její vztah ke Gamma funkci. Různá vyjádření Beta funkce. Použití Gamam a Beta při výpočtu jistých neelementárních integrálů. Bonus: sčítání harmonické řady pomocí Gamma funkce.

2.2. Besselovy funkce
Definice cylindrických funkcí. Besselova rovnice. Definice Besselových funkcí a jejich definiční obory pro různé hodnoty parametru. Chování Besselových funkcí v okolí nuly, F.S. řešení Besselovy rovnice: Weberovy resp. Neumannovy funkce, neboli též Besselovy fce 2. druhu. Besselovy funkce řádu k/2. Asymptotika Besselových funkcí a jejich grafy. Další identity pro Besselovy funkce: generující funkce a její rozvoj v Laurentovu řadu, integrály z funkcí typu cos(sin(t))a sin(sin(t)). Fourierova řada s koeficienty z Besselových funkcí. Rekurentní formule pro Besselovy funkce.

3. Úvod do teorie distribucí
Oficiální taháky k této kapitole:
Základní operace s distribucemi

3.1. Distribuce, temperované distribuce
Schwarzův prostor S a prostor nekonečně hladkých funkcí s kompaktním nosičem D. Konvergence v těchto prostorech. Normy v prostoru S. Temperované distribuce S': prostor všech spojitých lineárních funkcionálů nad S. Distribuce D': prostor všech spojitých lineárních funkcionálů nad D. Příklady temperovaných distribucí: Diracova delta-distribuce, dále každá funkce z L¹ lze chápat jako distribuce, přesněji: generuje distribuci T_f. Různé analogie: rozšíření pojmu funkce na pojem distribuce jako rozšíření racionálních čísel na reálná, distribuce má hodnoty "ve funkcích", stejně jako funkce mají hodnty "v bodech". Další příklady distribucí, funkce L¹_loc jsou vnořeny do prostoru D', ale ne S', funkce L¹_loc s pomalým růstem v nekonečnu jsou vnořeny do prostoru S'. Inkluze S' podmnožina D'. Rovnost distribucí. Konvergence distribucí. "Delta-posloupnost", neboli posloupnost funkcí z L¹, která konverguje v S' k Diracově distribuci. Regulární a neregulární distribuce.

3.2. Derivování distribucí
Derivování regulárních distribucí = per partes. Definice derivace distribuce. Korektnost definice. Každá distribuce má všechny derivace, které jsou zase distribuce. Příklad: distributivní derivace Heavisidovy funkce. Věta o derivování po částech hladké funkce se skoky. Důsledek: věta o lineárním diferenciálním operátoru s konstantními koeficienty, vyčíslenému ve smyslu distribucí na funkci, slepenou ze dvou klasických řešení. Početní důsledek: hledání fundamentálního řešení ODR (takové y, že L(y)=Dirac). Příklady na hledání fundamentálního řešení ODR. Laplaceův operátor pro sféricky symetrické funkce, ve smyslu distribucí, věta o tom. Použití: nalezení fundamentálního řešení Laplaceovy rovnice v dimenzi větší než dva (mocnina |x|) a také ve dvou dimenzích (ln|x|). Při derivování distribucí nezáleží na pořadí (záměnnost derivací).

3.3. Násobení distribuce funkcí, lineární transformace distribucí
Násobení distribuce hladkou funkcí s pomalým růstem. Distribuce vp 1/x. Nelze definovat násobení mezi distribucemi tak, aby bylo asociativní a komutativní. Příklady: různá násobení. Lineární transformace jako jedna ze substitucí (záměna proměnné). Lineárně transformovaná distribuce: její definice, počítání s ní. Lineární transformace Diraca. Odtud: Dirac je sféricky symetrický (invariantní vůči transformaci typu "otočení").

3.4. Fourierova transformace distribucí
Motivace pro definici: integral F(f) g = integral f F(g), pro f,g z prostoru S. Definice: F(T)(fi) := T(F(fi)) pro T z S'. Korektnost definice, F.T. na S' je prosta a na S' a platí inverzni formule. Transformace Diraca a Diraců všeho druhu, F.T. jedničky, F.T. komplexních exponenciel, F.T. sinu a kosinu. F.T. sudé distribuce. Věta o vztahu derivace a F.T. distribucí. Distribuce s kompaktním nosičem, jejich F.T. je regulární distribuce, tedy funkce. Plošná distribuce (na sféře). F.T. plošné distribuce, obecně a v dimenzích 2 a 3. Důsledek pro výpočet F.T. sféricky symetrických funkcí z L¹(R^m) v dimenzích 2 (s nultou Besselovou funkcí v integrálu) a 3 (se sinem v integrálu). Příklad na spočtení F.T. funkce exp(-k|x|) ve dvou a třech dimenzích. Konvergence F.T.: F.T. distribucí je spojitý proces.

3.5. Laplaceova transformace distribucí
Prostor laplaceovsky transformovatelných distribucí: L`₊, definice L.T. distribucí z L`₊ a její "zkorektnění". Vztah L.T. a derivování. Rozdíl mezi L.T. derivace, pokud se tato chápe v klasickém slova smyslu nebo ve smyslu distribucí. L.T. derivací Dirakovy distribuce. Věta o inverzi pro Laplaceovu transformaci, inverzní formule pro holomorfní funkce s maximálně polynomiálním růstem.

3.6. Konvergence distribucí
Konveregence distribucí. Konverguje-li posloupnost T_n(f) pro všechna f z S, tak limita T(f) je distribuce z S´. Fourierova transformace, libovolné derivování, a přenásobení nekonečně hladkou funkcí s pomalým růstem je spojité vůči konvergenci distribucí. Věta o tom, kdy funkce z L¹_loc, konvergující s.v., konvergují ve smyslu distribucí. Podobná věta pro řady. Příklady: vzorkovací distribuce. Konvergence řad distribucí. Konvergence řady diraků, přenásobených koeficienty s polynomiálním růstem. Suma všech derivací diraka v nule není konvergentní (tj. není distribuce).

3.7. Tenzorový součin a konvoluce
Distribuce s parametrem. Vlastnosti funkce, vytvořené pomocí distribuce s parametrem (různé verze: v D', v S', verze pro distribuci s kompaktním nosičem. Derivování dle parametru. Tenzorový součin funkcí. Fourierova transformace tenzorového součinu funkcí. Tenzorový součin funkcí je komutativní a asociativní. Tenzorový součin distribucí a korektnost jeho definice jako důsledek věty o parametrických distribucích. Tenzorový součin distribucí je komutativní a asociativní. Důsledek: distributivní Fubiniho věta. Konvoluce funkcí a distribucí. "Rigorózní definice konvolue pro obecné distribuce". Věta o tom, za jakých předpokladů na distribuce jistě existuje jejich konvoluce. Komutativita konvoluce a předpokaldy, za kterých platí asociativita. Příklad trojice distribucí, jejichž konvoluce není asociativní. Derivování jako konvoluce s derivacemi Diraka. Dirak je "jednotkou" pro operaci konvoluce. Derivování konvoluce. Věta o řešení rovnice Lu=f na základě znalosti fundamentálního řešení Lu₀=Dirac pomocí konvoluce. Fourierova transformace a konvoluce. Laplaceova transformace a konvoluce.

3.8. Fourierovy řady a periodické distribuce (v R¹)
Opakování: komplexní Fourierova řada 1-periodické funkce a její přepis pomocí součtů posunutí základní funkce s kompaktním nosičem. Posunutí distribuce a její vztah ke konvoluci s Diracem. Periodická distribuce. Věta o Fourierově řadě periodické distribuce a o F.T. vzorkovací distribuce. Výpočty s Fourierovými řadami technikou distribučních počtů.

4. Aplikace teorie distribucí
Oficiální taháky k této kapitole:
Rovnice vedení tepla a vlnová rovnice
Dirichletova úloha pro Poissonovu rovnici

4.1. Rovnice s konvolucí
Rovnice s konvolucí jako zobecnění lineární diferenciální rovnice. Řešení přímou metodou pomocí F.T. a metodou elementárního řešení.

4.2. Rovnice vedení tepla
Obecná a zjednodušená rovnice vedení tepla. Cauchyova úloha pro rovnici vedení tepla: úloha s počáteční podmínkou na celém R^m. Princip superpozice řešení: řešení jako součet dvou řešení (řešení s pravou stranou a bez počáteční podmínky, a naopak). Nalezení Greenovy funkce úlohy s počáteční podmínkou pomocí F.T. Vlastnosti Greenovy funkce. Nabývání počáteční podmínky. Paradox vedení tepla: nekonečná rychlost šíření informace. Řešení rovnice s pravou stranou. Obecný tvar řešení RVT pomocí konvolucí. Vedení tepla na polopřímce a dva druhy okrajové podmínky. Příklad na vývoj teploty pro bodový zdroj v počátku: přehřívání prostoru dimenze 2 a nalezení rovnovážného stavu pro prostory vyšší dimenze: je to elementární řešení Laplaceova operátoru. Vedení tepla na tyči (na úsečce), řešení pomocí periodických distribucí.

4.3. Vlnová rovnice
Vlnová rovnice, Cauchyova úloha s dvojicí počátečních podmínek. Fyzikální interpretace: zadána výchylka a počáteční rychlost. Diskuse o nabývání počátečních podmínek. Definice trojice elementárních funkcí E₀, E₁, E₂ a jejich vyjádření pomocí jediné z nich metodou Fourierovy transformace. Nalezení elementární vlnové funkce v jedné prostorové dimenzi, d'Alembertův vzorec v jedné dimenzi. Diskuse o vlnovém kuželu a konečné rychlosti šíření informací. Odovození elementární vlnové funkce ve třech dimenzích, plošná distribuce, jednovrstva a dvojvrstva. Lemma o derivaci plošné distribuce. Explicitní vzorce pro řešení rovnice ve třech dimenzích. Vzorce pro řešení ve dvou dimenzích pouze jako komentář k vytištěné tabulce.

4.4. Laplaceova-Poissonova rovnice
Laplaceova-Poissonova a Laplaceova rovnice (tj. s nulou na pravé straně). Řešení "v distribucích" a "ve funkcích". Obecně o řešeních: řešení na celém prosotru a řešení na oblasti s hranicí. Zadávání okrajových podmínek na hranici, Dirichletova a Neumannova podmínka, smíšená podmínka, jim odpovídající úlohy pro L.-P. a L. rovnici. Ilustrace (analogie) těchto úloh v jedné dimenzi. Nutná podmínka existence řešení Neumannovy úlohy. Problémy jednoznačnosti. Jednoznačnost řešení L.-P. rovnice "v distribucích" na celém prostoru: až na harmonický polynom. Jednoznačnost řešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici "ve funkcích", na oblasti: řešení je jednoznačné pro omezenou oblast, nebo pro neomezenou oblast s podmínkami klesání řešení v nekonečnu (ve dvou dimenzích je to totéž, co omezenost řešení). Příklady na nejednoznačná řešení.

4.5. Konformní zobrazení a Dirichletova úloha v R²
Myšlenka: převedení obecné oblasti na známou oblast (bude to horní polorovina), vyřešení úlohy tam, zpětná transformace. Problémy: vhodné transformační zobrazení, které by dobře transformovalo oblast i rovnici. bude to tzv. konformní zobrazení.
Ztotožnění R² s komplexní rovinou. Komplexní zobrazení zachovávající úhly - definice a vysvětlení. Konformní zobrazení: holomorfní zobrazení, zachovávající úhly. Věta: holomorfní funkce s nenulovou derivací je konformním zobrazením. Transformování Laplaceova operátou při konformním zobrazení. Přenesení hraničních podmínek. Strategie řešení. Vyřešení úlohy na horní polorovině.
Konformní ekvivalence oblastí s horní polorovinou: všechny jednoduše souvislé oblasti. Některá konkrétní konformní zobrazení a zacházení s nimi. Příklady, příklady...
A to je vše...