Pozadavky ke zkousce MA pro F, ZS 2006/2007

[MAF043: MA pro F, 3. ročník, ZS 2006/2007, M.Rokyta]

Požadavky k teoretické části zkoušky

Není-li řečeno jinak, chci i důkazy.

Fourierova a Laplaceova transformace

Definice Fourierovy transformace (F.T.) přímé a opačné pro funkce z L¹, rozšíření F.T. na prostor L², vlastnosti Fourierových obrazů fcí z S, L¹ a L² (vše pouze definice a znění bez důkazů).

Konvoluce, vztah F.T. a konvoluce, vztah derivace a konvoluce (vše pouze znění bez důkazů).
Vztah derivování a Fourierovy transformace.
Definice prostorů L¹_loc a L¹₊. Definice Laplaceovy transformace pro funkce.
Věta o základních vlastnostech Laplaceovy transformace pro funkce z L¹₊ (spojitost, limity, holomorfnost).
Základní vztahy: posunutí, škálování, vztah k derivaci, k integrálu.
Prostota Laplaceovy transformace.
Věta o inverzi: inverzní formule ve tvaru křivkového integrálu v C (bez důkazu), ve tvaru součtu reziduí (s důkazem).

Některé speciální funkce

Gamma funkce, Beta funkce, Besselovy funkce: znát definice a základní vlastnosti (vzorečky), je možno mít k ruce oficiální tahák. Tato pasáž nebude explicite zkoušena (tj. nebudou formulovány otázky přímo z ní), ale předpokládá se, že když se někde v průběhu výpočtů (v příkladech) vyskytnou tyto funkce, budete umět (s pomocí taháku) se s výpočtem vypořádat. Upozorňuju, že není dobré si ony funkce alespoň pořádně neprohlédnout, ve výpočtech je nejdůležitější především rozpoznat, že se jedná o nějakou speciální funkci v některém z jejích tvarů.

Úvod do teorie distribucí

Konvergence v prostorech S a D, normy v S a souvislost s konvergenci v S.
Distribuce obecné (D') a temperované (Schwarzovy, tj. S') - definice prostorů.
Rovnost distribucí a způsob, jakým se ztotožňují funkce s částí prostoru distribucí (tj. realizace inkluzí L¹ \inkluze S' apod.) Pojem regulární distribuce.
Konvergence distribucí - definice. (Viz též otázky za otázkami pro L.T.)
Derivování distribucí (derivování ve smyslu distribucí). Věta o distributivní derivaci funkce se skoky (hodnot a derivací) v bodě nula.
Věta o nalezení fundamentálního řešení ODR.
Laplaceův operátor ve smyslu distribucí pro radiálně symetrické funkce (věta s důkazem).
Násobení distribuce funkcí, lineární transformace distribucí - definice.
Fourierova transformace distribucí z S' - definice. Věta o vlastnostech.
Fourierova transformace derivací, derivace Fourierovy trasformace (v distribucích) - věta s důkazem.
Distribuce s kompaktním nosičem - definice a vlastnosti F.T. (bez důkazu).
Plošná distribuce a její Fourierova transformace, obecně, a v prostorech dimenze 2 a 3. (věta s důkazem).
Fourierova transformace sféricky symetrické integrovatelné funkce - věta s důkazem.
Laplaceova transformace distribucí: prostor L`₊, definice L.T. distribucí z L`₊ a její "zkorektnění".
Vztah L.T. a derivování. Rozdíl mezi L.T. derivace, pokud se tato chápe v klasickém slova smyslu nebo ve smyslu distribucí.
Věta o inverzi pro Laplaceovu transformaci, inverzní formule pro holomorfní funkce s maximálně polynomiálním růstem. (s důkazem)
Konvergence distribucí podruhé: věta o konvergenci F.T., derivací, násobku funkcí..., věta o konvergenci (s.v.) posloupnosti pomalu rostoucích L¹_loc funkcí.
Definice "distribuce s parametrem" a tvrzení o jejích vlastnostech (bez důkazu). Derivace distribuce s parametrem podle parametru.
Tenzorový součin funkcí a jeho Fourierova transformace.
Tenzorový součin distribucí a věta o jeho Fourierově transformaci (bez důkazu). Distributivní Fubiniho věta.
Konvoluce distribucí: definice konvoluce funkcí a její přepis tak, aby z něj bylo vidět, jak definovat konvoluci distribucí. (Na známku 1: úvahy, které vedou ke zkorektnění této formální definice).
Seznam situací, za kterých je definovaána konvoluce různých typů distribucí, a její vlastnosti. Kdy je konvoluce komutativní a kdy asociativní.
Lemma o derivaci konvoluce a konvoluci distribuce s derivací distribuce. Věta o lineárním diferenciálním operátoru (řešení s diracem na pravé straně a konvoluce s obecnou pravou stranou).
Fourierova a Laplaceova transformace konvoluce distribucí.
posunutí distribuce, vztah posunutí distribuce a konvoluce s Diracem.
Definice periodické distribuce, věta o periodických distribucích.
Vzorkovací distribuce a její Fourierova transformace.

Aplikace teorie distribucí

Pojem rovnice s konvolucí. Lemma o řešení rovnice s konvolucí pomocí fundamentálního řešení této rovnice.
Definice (tvar) rovnice vedení tepla (RVT), Cauchyovy úlohy pro ni. Lemma o principu superpozice řešení.
Postup nalezení Greenovy funkce pro RVT pomocí Fourierovy transformace (odvození).
Věta o vlastnostech Greenovy funkce (s důkazem).
Věta o řešení úlohy s nulovou pravou stranou a spojitou, omezenou a integrovatelnou počáteční podmínkou.
Postup nalezení řešení RVT s nenulovou pravou stranou a nulovou počáteční podmínkou (odvození).
Vedení tepla na polopřímce: postup řešení.
Vedení tepla na omezeném intervalu: postup řešení. Věta o vedení tepla na tyči (řešení ve tvaru Fourierovy řady) - s důkazem, včetně důkazu lemmatu, které je k tomu potřeba.
Vlnová rovnice (VR), její tvar a tvar Cauchyovy úlohy. Princip superpozice řešení. Postup odvození elementárních funkcí. Invertovaní Fourierova obrazu element. funkce v dimenzích 1 a 3.
Laplaceova-Poissonova rovnice, její tvar. Věta o jednoznačnost řešení L.-P. rovnice "v distribucích" na celém prostoru. (bez důkazu).
Věta o jednoznačnosti řešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici "ve funkcích", na oblasti (furmulace, bez důkazu).
Komplexní zobrazení zachovávající úhly - definice a vysvětlení. Konformní zobrazení: definice.
Věta: holomorfní funkce s nenulovou derivací je konformním zobrazením.
Věta: transformování Laplaceova operátou při konformním zobrazení.
(... a dále znát aktivně strategii řešení natolik, abyste byli schopni počítat příklady.)

Doporučená literatura

Vlastní poznámky z přednášek.

Čihák, P., a kolektiv: Matematika pro fyziky V. (Skriptum MFF UK), požadavků ke zkoušce (ale ne všech) se týka text na stranách 1-102, 113-138 a 171-175.
... což je základní text, ale navíc je potřeba ještě nahlédnout do:

Kopáček, J., a kolektiv: Matematická analýza pro fyziky IV. (Skriptum MFF UK), zde se můžete dočíst o Fourierově transformaci funkcí (str. 200 a dál) resp. o Laplaceově transformaci funkcí (str. 239 a dál)
... případně místo toho:

Souček, V.: Matematika pro fyziky, 4 semestr (učební text na webu: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~soucek/semestr4/s4.ps), na str. 66 je o konformním zobrazení, na str. 72-88 je o Fourierově a Laplaceově transformaci funkcí.
... a konečně příklady:

Čihák, P., Čerych, J., Kopáček, J.: Příklady z matematiky pro fyziky V. (Skriptum MFF UK), příklady ke zkoušce budou čerpány ze stran 1-121, 143-156, 248-288.