Komplexní čísla
Goniometrický tvar komplexního čísla

n-tá mocnina komplexního čísla

V kapitole Násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru jsme vzorec pro násobení dvou komplexních čísel zobecnili pro činitelů, kde je přirozené číslo, čímž jsme dostali .
Pokud platí, že , pak vynásobením těchto čísel dostaneme -tou mocninu čísla . Odtud plyne vztah pro -tou mocninu komplexního čísla .

Definice


Mocnina komplexního čísla

Máme-li komplexní číslo zapsané ve tvaru , pak n-tou mocninou tohoto komplexního čísla, kde je přirozené číslo, nazveme komplexní číslo . Tuto mocninu značíme .
Je-li , pak .

Moivreova věta

Pro každé přirozené číslo a libovoné reálné číslo platí .

Poznámka

Vzorec platí i pro .

Moivreovu větu můžeme použít k vyjádření funkcí , , pomocí funkcí , , kde je přirozené číslo.

Řešený příklad

Vyjádřete a pomocí funkcí a .

Využijeme Moivreovu větu:
Využijeme binomickou větu:

Užitím pravidla, že dvě komplexní čísla se rovnají, pokud se rovnají jejich reálné a imaginární složky, dostáváme
,
.
Použijeme-li vztah , můžeme je dále upravit na tvar
,
.

Příklady

1. Vypočtěte a výsledek uveďte v algebraickém tvaru:
a)
b)
c)
>>nahoru<<

n-tá odmocnina z komplexního čísla

Definice

n-tou odmocninou , kde , z komplexního čísla nazveme každé komplexní číslo , pro které platí .

K určení -té odmocniny z čísla stačí řešit rovnici .

Poznámka

Každé řešení rovnice je -tou odmocninou z čísla .

Je-li , pak pro libovolné má rovnice právě jedno řešení .
Je-li , pak také . Vyjádříme-li obě čísla v goniometrickém tvaru , , pak rovnice má tvar .

Dvě komplexní čísla se rovnají, pokud jsou si rovny jejich absolutní hodnoty a zároveň pokud se jejich argumenty rovnají nebo liší o celočíselný násobek . Proto z odvozené rovnosti plyne, že
a
neboli
a
.

Podle toho všechna řešení rovnice (tedy -té odmocniny z čísla ) můžeme zapsat ve tvaru

, kde . Pro další

už nedostaneme nová řešení, protože argumenty se budou lišit o celočíselný násobek .

Vidíme tedy, že všechny -té odmocniny z mají stejnou absolutní hodnotu a jejich argumenty

se liší o násobek .

To znamená, že obrazy komplexních čísel, která jsou -tými odmocninami z čísla pro , jsou vrcholy pravidelného -úhelníka vepsaného do kružnice se středem v počátku a poloměrem . Pro jsou komplexními odmocninami dvě opačná komplexní čísla.

Všechny předcházející poznatky lze shrnout do následující věty.

Věta


Odmocniny komplexního čísla

Je-li nenulové komplexní číslo a je celé kladné číslo, pak existuje právě komplexních čísel, která jsou -tou odmocninou z , tj. takových čísel , že . Jsou to čísla

,

kde .

Důkaz
Vyplývá z poznámky před větou.

Příklady

Vypočtěte odmocniny (tj. všechny kořeny příslušných binomických rovnic) z následujících komplexních čísel:
a)
Číslo zapíšeme v goniometrickém tvaru a spočítáme všechna řešení rovnice.
, kde
b) , kde
c) , kde
>>další stránka<<>>nahoru<<
Lenka Šilarová, 2006